常微分方程式の問題です

わからないので教えてください。 逐次近似法により次の微分方程式を解け。 dx/dt=tx+t ,x(0)=0

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/26 19:23

なぜ、逐次近似？

変数分離形ですから、厳密解がすぐ求まりますよ。

dx/dt = t(1+x) より、
{1/(1+x)}(dx/dt) = t を t で積分して、
log(1+x) = (t^2)/2 + C　; C は定数.
初期条件 x(0) = 0 より、C = 0 です。
よって、x = -1 + e^((t^2)/2).

逐次近似法の練習は、自分でやってみてほしい
ところですが…

x(t) = x[0](t) = 0 (定数) を 0 次近似として
dx[n+1]/dt = t(1 + x[n]) で漸化すれば、

x[1](t) = ∫t(1+0) dt = (t^2)/2,
x[2](t) = ∫t{1+(t^2)/2} dt = (t^2)/2 + (t^4)/8,
x[3](t) = ∫t{1+(t^2)/2+(t^4)/8} dt = (t^2)/2 + (t^4)/8 + (t^6)/48,
…

これが x[n](t) = Σ[k=1…n] (1/k!){(t^2)/2}^k
であることは、推測＋帰納法で証明かな。

n→∞ の極限をとると、
x(t) = x[∞](t) = -1 + Σ[k=0…∞] (1/k!){(t^2)/2}^k
= -1 + e^((t^2)/2).

上記の解と一致しますね。