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偏微分、全微分の問題です

解き方を教えてくださいm(_ _)m
f(x,y)=x^2sin(1/x) (x≠0)、0(x=0)

(1)fx(0.y)、fy(0.y)を求めよ。

(2)fx(x.y)はどこで全微分可能か、またそこで全微分せよ。


よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

f(x,y) = (x^2)sin(1/x)  (x≠0),


f(x,y) = 0  (x=0)
なんですね?

これは、全微分可能⇒偏微分可能 だが、偏微分可能⇒全微分可能ではない。
偏導関数が連続⇒全微分可能 ではある …ということの確認だと思います。
(x^2)sin(1/x) の x=0 での振る舞いは、D1級だが C1級ではない関数
の有名な例だからです。

(1)
fx(x,y) = (2x)sin(1/x) + (x^2)cos(1/x)(-1/x^2)  (x≠0),
fx(x,y) = 0  (x=0 でも微分可能).
fy(x,y) = 0  (定数関数)
なので、

fx(0,y) = 0,
fy(0,y) = 0
です。

(2)
x≠0, y任意の範囲では、fx, fy が連続なので、f は全微分可能。

あれ? fx(x,y) の全微分可能性か…

x≠0 で全微分可能なのは、fx(x,y) でも同じです。そこでは、
dfx(x,y) = fxx(x,y)dx + fxy(x,y)dy
= {(2-(1/x^2))sin(1/x) - (2/x)cos(1/x)}dx + 0dy
と書けます。

x=0 では、fx(x,y) は、x で偏微分不可能なので、全微分可能ではありません。
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>f(x,y)=x^2sin(1/x) (x≠0)、0(x=0)

f(x,y)はx,yの関数ですが、右辺はxだけの関数となっています。
f(x,y)の定義式が間違っていませんか?

訂正して補足に書いてもらえませんか?
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Aベストアンサー

>答えをみると、「原点以外で連続」
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2変数関数 f(x,y)を偏微分をといてみたものの
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わかる方、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(1) x^2+3x+y+2

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2x+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1

(2) x^2y^3+3x+2y

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2xy^3+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 3x^2+2

(3) (x-y)/(x+y)

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 1/1=1
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = -1/1=-1

(4) √(x^2+y^2+1)

f(x,y)=√(x^2+y^2+1)=(x^2+y^2+1)^(1/2)

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 1/(√(x^2+y^2+1)) ?
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1/(√(y^2+x^2+1)) ?

※(4)は、答えに全く自信がありません。
 できれば、途中の計算プロセスを詳しく教えていただけると助かります。

以上、よろしくお願いします。

2変数関数 f(x,y)を偏微分をといてみたものの
あっているか自信がありません。(特に4番)
わかる方、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(1) x^2+3x+y+2

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2x+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1

(2) x^2y^3+3x+2y

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2xy^3+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 3x^2+2

(3) (x-y)/(x+y)

xに関するy...続きを読む

Aベストアンサー

(1) x^2+3x+y+2
>fx(x,y) = 2x+3
>fy(x,y) = 1
OK

(2) x^2y^3+3x+2y
>fx(x,y) = 2xy^3+3
OK
>fy(x,y) = 3x^2+2
×
3x^2*y^2+2

(3) (x-y)/(x+y)
>fx(x,y) = 1/1=1
×
1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=2y/(x+y)^2
>fy(x,y) = -1/1=-1
×
-1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=-2x/(x+y)^2

(4) √(x^2+y^2+1)
>f(x,y)=√(x^2+y^2+1)=(x^2+y^2+1)^(1/2)
>fx(x,y) = 1/(√(x^2+y^2+1)) ?
×
={(x^2+y^2+1)^(1/2)}'=(1/2)(x^2)'*(x^2+y^2+1)^(-1/2)
=x/√(x^2+y^2+1)
>fy(x,y) = 1/(√(y^2+x^2+1)) ?
×
fx(x,y)と同様に
=y/√(x^2+y^2+1)

(1) x^2+3x+y+2
>fx(x,y) = 2x+3
>fy(x,y) = 1
OK

(2) x^2y^3+3x+2y
>fx(x,y) = 2xy^3+3
OK
>fy(x,y) = 3x^2+2
×
3x^2*y^2+2

(3) (x-y)/(x+y)
>fx(x,y) = 1/1=1
×
1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=2y/(x+y)^2
>fy(x,y) = -1/1=-1
×
-1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=-2x/(x+y)^2

(4) √(x^2+y^2+1)
>f(x,y)=√(x^2+y^2+1)=(x^2+y^2+1)^(1/2)
>fx(x,y) = 1/(√(x^2+y^2+1)) ?
×
={(x^2+y^2+1)^(1/2)}'=(1/2)(x^2)'*(x^2+y^2+1)^(-1/2)
=x/√(x^2+y^2+1)
>fy(x,y) = 1/(√(y^2+x^2+1)) ?
×
fx(x,y)と同様に...続きを読む

Q大学数学の全微分可能性に関する質問です、どなたかよろしくお願いします

大学の全微分に関する問題で
次の関数は原点で全微分可能でないことを示せという問題なのですが。

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Aベストアンサー

∂f/∂x=lim[h→0]{f(h,0)-f(0,0)}/h=0/h^5=0
∂f/∂y=lim[h→0]{f(0,k)-f(0,0)}/k=0/k^3=0
よって偏微係数∂f/∂x , ∂f/∂yは存在する。
一方、f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)において、y=mx^2とすると
f(x,y)=mx^4/(x^4+m^2・x^4)=m/(1+m^2)となってmの値で変動する。
よってf(x,y)は不連続。

従って、f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2) は全微分可能ではない。

Q(x^2)sin(1/x)

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Aベストアンサー

lim[x→0]cos(1/x)が振動して定まらないから不連続なのでは。

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

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lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
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Aベストアンサー

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がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。


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