No.1
- 回答日時:
問題を投稿したら正しく問題が投稿されているか確認しましょう。
>f(x,y)=x^2sin(1/x) (x≠0)、0(x=0)
f(x,y)はx,yの関数ですが、右辺はxだけの関数となっています。
f(x,y)の定義式が間違っていませんか?
訂正して補足に書いてもらえませんか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
f(x,y) = (x^2)sin(1/x) (x≠0),
f(x,y) = 0 (x=0)
なんですね?
これは、全微分可能⇒偏微分可能 だが、偏微分可能⇒全微分可能ではない。
偏導関数が連続⇒全微分可能 ではある …ということの確認だと思います。
(x^2)sin(1/x) の x=0 での振る舞いは、D1級だが C1級ではない関数
の有名な例だからです。
(1)
fx(x,y) = (2x)sin(1/x) + (x^2)cos(1/x)(-1/x^2) (x≠0),
fx(x,y) = 0 (x=0 でも微分可能).
fy(x,y) = 0 (定数関数)
なので、
fx(0,y) = 0,
fy(0,y) = 0
です。
(2)
x≠0, y任意の範囲では、fx, fy が連続なので、f は全微分可能。
あれ? fx(x,y) の全微分可能性か…
x≠0 で全微分可能なのは、fx(x,y) でも同じです。そこでは、
dfx(x,y) = fxx(x,y)dx + fxy(x,y)dy
= {(2-(1/x^2))sin(1/x) - (2/x)cos(1/x)}dx + 0dy
と書けます。
x=0 では、fx(x,y) は、x で偏微分不可能なので、全微分可能ではありません。
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