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 いつも大変お世話になっております。

 この夏を使って、整数問題に取り組んでいるのですが、下記の入試問題の解説に関して、どうしてそのように分類するのか理解できておりません。

 1.任意の整数nに対し、n^9-n^3は9で割り切れることを示せ。
   (解説)3で割った余りで分類する

 2.nが3の倍数でない奇数のとき、n^2を12で割った余りを求めよ。
   (解説)6で割った余りで分類する

 3.nは正の整数で、2でも3でも割り切れないとする。このとき、n^2-1は24で割り切れることを示せ。
  (解説)6で割った余りで分類する

 私の考えとしては、

 1.については、
   (1)9で割った余りで分類するには大変すぎる
   (2)9の倍数のかたまりを作りたい
   (3)n^3が共通因数としてあるので、3で割った余りで分類すればいい
   (4)n^2により、9の倍数のかたまりができるから

 2.については
   (1)12で割った余りで分類するには大変すぎる
   (2)12の倍数のかたまりを作りたい
   (3)n^2があるので、6で割った余りで分類すればいい
   (4)n^2により、36ができる、12×3で12の倍数のかたまりができるから

 3.については
   (1)24で割った余りで分類するには大変すぎる
   (2)24の倍数のかたまりを作りたいが・・・

 と、ここまでで、この考えが解説の分類とマッチしているのかどうかわかりません。3.については
途中で止まっております。

 お分かりの方がいらっしゃいましたらアドバイス頂けないでしょうか。
 よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

1. についてはx = n^3とおくと


  (n^9 - n^3) = (x^3 - x) = (x-1)x(x+1)
つまり、「xが何であれ、(x-1), x, (x+1)のうちどれか丁度ひとつが3の倍数」ってこと。

2. については「nが3の倍数でない奇数」ってことは
「nは奇数で、ある整数mがあってn = 3m+1であるかn = 3m+2」ってことは
「ある整数mがあって、n = 3m+1でかつmが偶数あるいはn = 3m+2でかつmが奇数」ってことは
「ある整数kがあって、n = 3(2k)+1あるいはn = 3(2k-1)+2」ってことは
「ある整数kがあって、n = 6k+1あるいはn = 6k-1」ってこと。

3. については「nは2でも3でも割り切れない」ってことは
「ある整数mがあって、n = 6m+1かn = 6m-1」ってこと。

 つまり、ご質問の3つの例題は、いずれも(「××で割った余り」の話とは無関係に、)「nが○○であるとき」という条件を素直に式で表現すれば自然に分類の仕方が決まる、というものばかりですね。

> で割った余りで分類するには大変すぎる

 この観点は的外れ。そんな分類を(「大変すぎる」のはもちろん我慢して、とにかく)試みれば、大抵すぐに行き詰まるでしょ。よっぽど簡単な問題以外ではね。
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この回答へのお礼

stomachmanさん

 ご回答いただきありがとうございました。
 もう少し考えて見たいと思います。

お礼日時:2013/08/21 22:55

えー?


楽をしようとして、詰まって終わるくらいなら、
手間を惜しまず計算すれば、簡単でしょ。

1.「9で割り切れることを示せ」なら、
(n+9)^9 - (n+9)^3 を 9 で割った余りが
n^9 - n^3 を 9 で割った余りに等しいことを利用して、
n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 を代入してみれば
完了です。

2. 3の倍数でない奇数 n は 6 周期で現れるけれど、
ケチケチしてないで、「12で割った余りを求めよ」なら、
n を 12 で割った余りを考えてしまえばいい。
n^2 ヘ代入する n の個数が、1, 5 の 2 個から
1, 5, 7, 11 の 4 個になるだけ。大した手間ではありません。

3. これも飯盤振る舞いで、
n を 24 で割った余りを考えてしまいましょう。
それでも、n^2 - 1 へ代入する n は、
n = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 のたった 8 個です。

もちろん、結果的には、解説に書かれた分類だけで済み、
手間は減らせるのだけれど、それをどうやって思いつくかで
悩んで時間を潰すくらいなら、素直に「割る数」の剰余系で
さっさと処理してしまえばいいです。

下手の考え休むに似たり。
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この回答へのお礼

alice_44さん

 ご回答いただきありがとうございました。
 もう少し考えて見たいと思います。

お礼日時:2013/08/21 22:56

こんばんわ。


なんか重複した表現になっているところもあるような気がしますが。

整数問題はこれと言った「定番」がありそうでなさそうな分野です。
いま取り組んでいるように、ある程度数をあたって感覚を身に着けるのが一番だと思います。

それぞれの問題に現れる「割る数」を素因数分解してみてください。
その因数を作り出すために nがどのような数になればよいのかを考えることになります。
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この回答へのお礼

naniwacchiさん

 ご回答いただきありがとうございました。
 もう少し考えて見たいと思います。

お礼日時:2013/08/21 22:56

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