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確率変数X,Yは独立でそれぞれ正規分布N(5,2^2),N(3,1^2)に従う時
確率P(6<=X+Y)を求めよ。という問題の解答についてなのですが、

P(6<=X+Y)=P( (6-8)/√5 <= (X+Y-8)/√5 )=P( -2/√5 <=Z)

=P( -0.89 <= Z )=0.5+0.3133=0.8133

の最後のP( -0.89 <= Z )からなぜ 0.5+0.3133という式が出てくるのか分かりません。
正規分布表を見たのですが、さっぱりわかりません。よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

N(X+Y)は期待値8,分散が5の正規分布を描くと思われます。


xy座標平面に、x=8を山の中心とするお椀型のグラフを書いてください。
次にx=6を通る縦線を引いてください。
そうすると、山は二つに割れます。
右側の、こぶを含む側の面積が、求めたいP(6<=X+Y)です。
こぶの面積は、8よりも右側の部分0.5と、x=6~8の間の部分となることがわかります。
8から6までの距離は2(ややこしくなるので符号はとりました)
この距離が標準偏差の何倍かを計算します。
分散が5なら標準偏差は√5なので、標準偏差の0.89倍ってところです。
ここで正規分布表の出番です。
標準偏差×Zまでの曲線下面積が載っています。
たとえば標準偏差そのもの、Z=1のとき、0.3413です。
これはX+Yが8-√5から8までである確率です。
さて、X+Yが6~8である確率は、Z=0.89のところを引けば出てきます。
それが、0.3133です。
6と8-√5を比べると、6のほうが8に近い数字なので、0.3413よりも面積が少しだけ小さいというのは感覚にも合致すると思います。
そして最後、6~8までである確率0.3133と、8以上である確率0.5を足して、0.8133です。
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