数列と極限に関して

分数の質問なのか極限の質問か判断が付かなかったため
極限の質問とすれば、分数の質問だとしても問題無いだろうと思い、極限の質問とさせていただきます。


先日極限を習いました。
ただ8割方理解はできずに終わりました。
極限を調べる箇所は因数分解→約分→ｘを代入というような流れのものもあったりで、分かる箇所もありはしましたが。

で、無限吸収の収束、発散を調べる問題で（収束する場合は和を求める）

1/[1・3]＋1/[2・4]＋1/[3・5]＋………＋1/[n(n＋2)]＋………

という問題です。

見にくいかと思ったので分母を[]で囲みました。

で、聞きたいのは結果付近の計算についてなのですが
指名された生徒さんも、あまり分かっていなかったようで
先生が、ものすごくヒントをだしまくって答えに導いてらっしゃいました。

で、最終的に
1/2(1+1/2)になったのですが
この解答をその生徒さんが

1/2×3/2=3/4と書きました。
で、先生はそれを○にしましたし、他の生徒さんからもそれに対しての指摘等は上がりませんでしたが
私はこの式が理解できませんでした。
答えは3/4で合っているのは分かるのですが（それまでの計算は分かっていないので、私は1/2(1+1/2）だけを見ています）

なぜ、符号を変えたのかが分かりません

私がこれを解くとしたら
1/2+1/4を通分して3/4にします。

符号を変えたから後半が3/2になったのかなとも思いますが
そもそも＋を×の式に替えるやり方があるのですか？

＋の向きが曲がってしまい×に見えたのかなとも思いましたが
そうすると3/2を書いた意味が分かりませんし…


分数の問題として見るとおかしいけど

極限の問題だから、こういうような書き方になるという可能性も
極限を理解できてない私には考えられたので
極限の質問としてさせていただきました。

解答お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/07/29 14:57

　こんにちは。

　最後の部分だけだと、完全に分数の問題です。

　計算の順序が違うだけで、同じことです。

　　1/2(1+1/2)を、カッコ内を先に計算する原則でやれば、1+1/2　＝３／２

　　ですから、回答のようになり、あなたのやっっているように、カッコ内を展開してやれば

　　1/2+1/4を通分して3/4

　　となります。どちらでも良いですが、普通は原則どおりカッコ内の計算をやります。


　ところで、あなたが

　　＞＞なぜ、符号を変えたのかが分かりません。

　の質問がわかりません。どこも符号は変わっていないからです。

　符号というのは、プラス、マイナスのことですから・・・・

　誤解があると思いますが。

　＋（たしざん）と×（かけざん）は計算の記号といいます。


　　なお、もともとの級数の問題

　　1/[1・3]＋1/[2・4]＋1/[3・5]＋………＋1/[n(n＋2)]＋………

　　は、基本として、

　　級数は勝手に順番を変えられない（変えると異なる結果が導かれる）という大原則を

　　まず理解して、

　　有限の部分和　Ｓｎ＝1/[1・3]＋1/[2・4]＋1/[3・5]＋………＋1/[n(n＋2)]

　　の極限として求めるのである。

　　というところを、しっかり理解されると、わかるようになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

符号の件、指摘されて気付きました。
そうですよね。
どうも質問をするとなると、質問事項以外の事に集中が欠けてしまい
言い間違い等増えてしまいます。

極限に関してはそれまでに習う範囲ができていない（そもそも高校数学はほぼ習っていません）ので
それこそf(x)の意味とか捉え方から教えてもらわないとという感じです…

1/2(1+1/2)の()の中を先に計算していたんですね。
そういう考え自体が私の中にありませんでしたが、それでも構わないんですよね。
どうも頭が堅いもので…。

お礼日時：2013/07/29 16:43

No.3 回答者： tanuki4u 回答日時： 2013/07/29 14:59

問題の理解としてどうでもいいようなところに悩むなよ。

極限の計算をしたあとで、整理する方法としてどっちが簡単かの話。


1/[n(n＋2)]

＝（1／2）［1/n - 1/(n+2)］

これを　n = 1　から　順番に書くと

あ）（1/2）［1/1　-　1/3］

い）　（1/2）［1/2　-　1/4］

う）（1/2）［1/3　-　1/5］

え）（1/2）［1/4　-　1/6］

途中　順番に　数列が続いて

た）（1/2）［1/(n-2) - 1/(n)］

ち）（1/2）［1/(n-1) - 1/(n+1)］

つ）（1/2）［1/n - 1/(n+2)］

全部を足すと　あ）の　-　1/３　と　う）の　＋　１／３　
い）の　ー１／４　え）の　＋　１／４

た）の　- 1/n つ）の　+1/nが消し合うので

あ）（1/2）［1/1］

い）　（1/2）［1/2］





ち）（1/2）［ - 1/(n+1)］

つ）（1/2）［ - 1/(n+2)］

が残る　ｎが　∞　になると　ち）　つ）　が　０になるので


（1/2）［1/1］　＋　（1/2）［1/2］

これをどの順番で足すかは、どうでもいい

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

どうしても数学脳ではなく、どちらかといえば文系なもので、
変なところに引っかかってしまいます…。
さすがに1+1=2に疑問は持ちませんが。

お礼日時：2013/07/29 16:44

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/29 14:44

「符号を変えた」とは, どういうことでしょうか?

この回答への補足

1/2(1+1/2)=1/2×3/2となったので
＋をなぜ×にしたのか分からないもので。

補足日時：2013/07/29 16:40