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区間[a, b]において,y= f(x) を x軸周りに回転してできる回転体の
体積V,及び表面積S の以下公式について質問があります.

◆V = π∫y^2 dx

◆S = 2π∫y √{(dx)^2 + (dy)^2}

(積分区間は,共に[a, b])


回転体の体積における微少変化 ΔVは,円錐の体積変化
ΔV = (1/3)π*(y + dy)^2*(x +dx) - (1/3)π*y^2*x において,
y*dx = x*dy,及び y >> dy より (dy)^2≒0 を用いて,
ΔV = π*y^2*dx となることから,上記公式は理解できます.

しかし,回転体の表面積における微少変化 ΔSは,円錐の表面積変化
ΔS = π*(y + y+dy)*√{(dx)^2 + (dy)^2} において,
y+dy≒y と近似できる理由が不明のため,上記公式が理解できません.

回転体の表面積において,y+dy≒y と近似できる理由を教えていただけますでしょうか.
また,体積の考え方について,間違いがあれば指摘していただけますでしょうか.

よろしくお願いいたします.

A 回答 (1件)

演算子であるdx, dyと、正の実数Δx, Δyを区別しなくては。

円錐台の側面の面積ΔS
  ΔS = π (y +(y+Δy))√((Δx)^2 + (Δy)^2)
  Δy = (dy/dx)Δx
は(もちろん、導関数(ってか円錐台なんだから定数の微係数)(dy/dx)が存在するのが条件ですが)
  ΔS = (2π y +πΔy)√((Δx)^2 + (Δy)^2)
  = (2π y +π(dy/dx)Δx)√((Δx)^2 + ((dy/dx)Δx)^2)
ここで、
  f(x) = lim(Δx→0) ΔS/Δx = (2π y)√(1 + (dy/dx))^2)
を考える。いわば、円錐台で近似を行う幅Δxを無限小にしてやるわけで、これによってy(x)が勝手にぐねぐねしていても、細かく区切って円錐台で近似してやることができる。
 こいつをxについて積分すると、y(x)はぐねぐねでも大丈夫で
  ∫ f(x) dx = ∫(2π y)√(1 + (dy/dx))^2) dx
である。
 あるいは、曲線の道のり(円錐台なら母線)にそった座標sで積分するなら、(もちろん(dy/ds)が存在しなくては駄目ですが)
   Δs = √((Δx)^2 + (Δy)^2)
  ΔS = π (y +(y+Δy))Δs
  Δy = (dy/ds)Δs
において、
  g(s) = lim(Δs→0)ΔS/Δs = 2πy
を考える。そうすればy(s)はぐねぐねでも大丈夫で、g(s)を積分すると
   ∫g(s)ds = ∫(2πy)ds
である。このことを形式的に
   ∫(2πy)√((dx)^2 + (dy)^2)
と書いてみるのは勝手だけれども、xとyは独立ではないわけで、その意味は上記の通りです。
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