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∫(1+ax/2)^2 *exp(-a^2*x^2)dx (x=-∞~∞)の定積分の解き方がいまいちわかりません。どなたか教えてください。aは定数です。

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A 回答 (3件)

I = ∫[-∞->+∞](1 + ax + a^2x^2/4)exp(-a^2x^2)dx



より

I1 = ∫[-∞->+∞]exp(-a^2x^2)dx = √π/a (これはガウス積分です)

I2 = ∫[-∞->+∞]ax*exp(-a^2x^2)dx = ∫[-∞->+∞](-1/2a*exp(-a^2x^2))´dx

= [-∞->+∞][-1/2a*exp(-a^2x^2)] = 0

I3 = ∫[-∞->+∞](a^2x^2/4)exp(-a^2x^2)dx = 1/4∫[-∞->+∞](-1/2*exp(-a^2x^2))´xdx

= 1/4{[-∞->+∞][-1/2*exp(-a^2x^2)*x] + 1/2∫[-∞->+∞]exp(-a^2x^2)dx}

= 1/8 * √π/a

従って、

I = I1 + I2 + I3 = 9/8√π/a
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文字定数aを使うときは、aの定義を書くようにして下さい。



a>0(正の実数)とすれば

I=∫[-∞,∞](1+(ax/2))^2 *exp(-a^2*x^2)dx
=∫[-∞,∞]{1+ax+(a^2/4)x^2)}*exp(-a^2*x^2)dx
偶関数、奇関数の対称区間での積分の性質より
=2∫[0,∞]{1+(a^2/4)x^2)}*exp(-a^2*x^2)dx
ax=t(a>0)とおいて置換積分
=2∫[0,∞] {1+(t^2/4)}exp(-t^2) (1/a)dt
=(2/a)∫[0,∞]exp(-t^2)dt+(1/(2a))∫[0,∞]t^2*exp(-t^2)dt
参考URL参照して
=(2/a)((√π)/2)+(1/(2a))((√π)/4)
=(9/8)(√π)/a

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
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「いまいちわからない」ということなので, わかるところまで書いてみてください.

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