ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

xの2乗≡a(mod pのk乗)が整数解を持てばxの2乗≡a(mod pのk+1乗)も整数解を持つ
pは素数、kは0以上の整数、aは整数

この証明についての質問です。

xの2乗≡a(mod pのk乗)の整数解をx1とすると
x1の2乗-a=(pのk乗)s
sは整数
x2=x1+(pのk乗)tとおくと
x2の2乗-a=(x1+(pのk乗)t)の2乗-a
=x1の2乗+2(x1)(pのk乗)t+((pのk乗)の2乗)(tの2乗)-a
=(x1の2乗-a)+2(x1)(pのk乗)t+((pのk乗)の2乗)(tの2乗)
=(pのk乗)s+2(x1)(pのk乗)t+((pのk乗)の2乗)(tの2乗)
=(pのk乗)(s+2(x1)t+(pのk乗)(tの2乗))

ここまではいいのですが
s+2(x1)t≡0(mod p)となるようにtを選ぶことができるというのがわかりません。
ここを通過すればpのk+1乗を約数にもつことになって証明が終わります。

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A 回答 (4件)

t に関する方程式だと思って解けばいい.

この回答への補足

条件がひとつ抜けていました。pは奇数の素数です。

a=0、kが偶数、sがpと互いに素な平方数の場合にはどうするのでしょう?

補足日時:2013/07/30 16:57
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2*x1とpが互いに素であればフェルマーの小定理を使えば簡単です。



2*x1とpが互いに素であればフェルマーの小定理から
(2*x1)^(p-1)≡1 (mod p)
となります。
この両辺に-sをかけると
-s(2*x1)^(p-1)≡-s (mod p)
s-s(2*x1)^(p-1)≡0 (mod p)
s+(2*x1)*(-s)(2*x1)^(p-2)≡0 (mod p)
つまり
t=(-s)(2*x1)^(p-2) であれば s+2*x1*t≡0 (mod p) を満たします。

問題は2*x1がpと互いに素であるか、という点。
x1がpの倍数の場合は元の式に戻って考え直してみましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2013/07/31 12:29

u=0 なら問題なし.



というか, a=0 のときは考えるまでもないよね.
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この回答へのお礼

確かにそうですね。
よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2013/07/31 12:27

ん~と, 「p が奇素数」という条件はほとんど意味がありません. 「奇数じゃない素数」って 2 しかないし, そうすると a は 0 か 1 しかないからすぐわかるでしょ?



で, なんですが, 「a=0、kが偶数、sがpと互いに素な平方数の場合にはどうするのでしょう?」とはどういうことでしょうか? 3つの条件が全部そろったときを問題にしているのかそれぞれの場合を問題にしているのかがわかりませんし, どちらにしても「どこにどう困っているのか」がさっぱりわからんのですが.

この回答への補足

a=0、k=2j、s=uの2乗が全部そろったとき
x1の2乗=(pの2j乗)(uの2乗)なので

s+2(x1)t=(uの2乗)+2(x1)t
=(uの2乗)+2(pのj乗)ut
≡(uの2乗)(mod p)
となって≡0(mod p)にならないような気がするのですがどこがおかしいのでしょう?

補足日時:2013/07/31 00:15
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