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次の問題の(5)の解き方がわかりません…
(1)~(4)までは解けてるのですが、それらを使おうとしてもできません。
どなたかお答えいただけると嬉しいです(><)

2次方程式 2x^2-4x+1=0 の2つの解をα,βとする。このとき以下の値を求めよ。

(1)α^2+β^2
(2)α^3+β^3
(3)α^5+β^5
(4)|β-α|
(5)α^100+β^100

よろしくお願いします(_ _)

A 回答 (3件)

α^100+β^100=(α^50+β^50)^2-2(αβ)^50



αβ=1/2だからα^50+β^50がわかればよい


α^50+β^50=(α^25+β^25)^2-2(αβ)^25

α^25+β^25がわかればよい

α^25+β^25=(α^5+β^5)^5-5α^20β^5-10α^15β^10-10α^10β^15-5α^5β^20

α^5+β^5は(3)によりわかっているのでこれをpとおくと

α^25+β^25=p^5-5(αβ)^5[α^15+2α^10β^5+2α^5β^10+β^15]

α^15+2α^10β^5+2α^5β^10+β^15がわかればよい

α^15+2α^10β^5+2α^5β^10+β^15=α^5(α^10+2α^5β^5+β^10)+β^10(α^5+β^5)
=α^5(α^5+β^5)^2+β^10(α^5+β^5)
=(α^5+β^5)[α^5(α^5+β^5)+β^10]
=p[α^10+α^5β^5+β^10]
=p[(α^5+β^5)^2-(αβ)^5]
=p[p^2-(αβ)^5]


QED
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(5)多分、2x^2ー4x+1=0 の変形で


x^2=2x-(1/2)を使って、
α^2=2α-(1/2)
β^2=2β-(1/2)
を使って代入法で与式の次数を少なくしていくのではないでしょうか。
私はスタミナがなく、途中で断念しましたが、どうでしょう。
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(α^5)^2=α^10


(α^10)^10=α^100

などの公式を利用したらいかがでしょう。
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