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(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a, bは実数)
で表される楕円を,原点Oを中心としてxy平面内で回転させる.
今,各辺がx 軸または y 軸に平行,かつ,この楕円に外接する長方形を考える.このとき,
長方形の面積Sの最大値と最小値を求めよ

問題です。

私の考えとしては、
まず

(X) =(cosθ sinθ) (x)
(Y) (-sinθ cosθ)(y)
でx,yをX,Yで置き換え、回転する楕円の式に変える。

次に、式をXで微分して、dX/dYをだして、接線の方程式を求める。

最後に、x=0の接線とy=0の接線の積*4は長方形の面積Sでこれを微分するなり、
変形するなり、最大値と最小値を求める。



こういうふうにやってみましたが、式が複雑でかなりの時間をかかりました。
この問題の制限時間は10分なので、自分のやり方が間違っているか、もっと
簡単な方法があると思います。

ですので、どなた分かる方、ご教授お願いします。

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A 回答 (1件)

> 自分のやり方が間違っているか、もっと簡単な方法があると思います。



 間違ってないですよね。しかし時間制限があると大変だな。良い手はないかと考え込んでいる時間も惜しいわけで…
 「回転する楕円の式」は
  A = 1/a, B = 1/b
  c = cosθ, s = sinθ
  u = (Ac)^2 + (Bs)^2
  v = (As)^2 + (Bc)^2
  w = -sc(A^2 - B^2)
という風に記号を整理すると
  u(X^2) +2wXY+ v(Y^2) -1=0
かな。これをXの2次方程式だと思って、それが重解になる条件(判別式=0)からYを決めると、
  Y^2 = u/(uv-w^2)
という形に解ける。(判別式がY^2の一次式になるのは、図形から明らかです。)また、同じ式を今度はYの2次方程式だと思って、それが重解になる条件からXを決めると、
  X^2 = v/(uv-w^2)
である。
 この時点で、「θ=nπ/2が最小でθ=nπ/2+π/4が最大というのは視察から明らかである。」ってんで、とりあえず答だけ計算しておくと、時間切れになっちゃったときの保険になるかも。

 さて、長方形の面積 S = 4 |XY| の代わりに
  S^2 = (XY)^2 = uv/(uv-w^2)^2
がどこで極値を取るか、を考えても同じこと。
  uv = (A^4 + B^4)(sc)^2 + (AB)^2
  w^2 = ((A^2 - B^2)^2)(sc)^2
だから、S^2は (sc)^2 だけの関数である。つまり、
  t = (sc)^2
  uv = (A^4 + B^4)t + (AB)^2
  w^2 = ((A^2 - B^2)^2)t
について、0≦t≦1/2におけるS^2の増減を調べて、「視察」の証明を示す。
 10分で出来るかな?どうかな?かなり忙しそうだなあ。

 あ、それからstomacmanは計算間違いの常習犯なので、信用しないように。
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この回答へのお礼

ご丁寧にご回答いただき、ありがとうございました。

お礼日時:2013/08/01 16:18

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