幾何の問題2

Question

原点を中心とする半径 2の円と頂点 A(0,-1)を持ち，辺BCがx 軸に平行
で，かつ，B，Cのy 座標が2より大きい正三角形ABCがある．この円から，正三角形 ABC
との共通部分を切り取り，y 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．
(図を添付しています）

私の考えは
立体の体積=EFを結ぶ線までの円の回転体積-三角形の回転体積

公式は ∫πx^2dy　を使います。

しかし、肝心の点AからEFを結ぶ線までの距離は分かりません。
いろいろやりましたけれど、なかなか求まりません。

どなた分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いします。

mnakauye · Accepted Answer

こんばんは。

直線ＡＣとＡＢはＡＢＣが図のような正三角形ですから、それぞれ直線の傾きは、

ｘ軸に対して、６０度、１２０度になりますから、傾きは√３とマイナス√３ですね。

だから、ＡＣ　：　y=√３x -1

AB    ：　y=-√３x-1

です。これと円の交点を求めれば、点Ｅ、Ｆは、

Ｅ（(√３＋√１５）／４，（３√５－１）／４））、

Ｆ（ー(√３＋√１５）／４，（３√５－１）／４））

です。ｙ座標はいずれも、（３√５－１）／４　ですね。

ｙ軸の周りに回転するから、

円は　ｘ＝√（４－ｙ＾２）　積分区間　[－２、（３√５－１）／４]で、

直線は　ＡＣ　：　ｘ＝（ｙ＋１）／（√３）　積分区間　[－１、（３√５－１）／４]で、

なので立体の体積＝π積分記号（４－ｙ＾２）ｄｙ－π積分記号{（ｙ＋１）＾２}／３dy

でもとめられますね。

なお　無理数（３√５－１）／４は　ａ　とおいて、ａ　で計算して、最後に代入したほうが

楽ですよ。

円の回転部分は、　　(4a - a^3/3)+16/3

直線の部分は、　　　　(a^3)/9+(a^2)/3+a/3+1/9

この差をとれば良いですね。

その場合、ａ　を求めた二次式　４ｙ＾２＋２ｙ－１１＝０なので、ａ＾２＝（１１－２ａ）／４を

繰り返し利用して、最終的に、ａの一次式になったところで、もとの数を代入しましょう。

計算ややこしいですが、がんばってください。

mnakauye · Answer

こんばんは。

>早速のご回答ありがとうございます。
　>交点のE、Fを求める時に直線と円の連立方程式を解けば
　>いいですよね。ですが、これが解けないのです。
　>例えば点Fのx座標は
　>(√3+√(4√2-1))/4
　>になってしまいます。これをどうやって
　>簡略化すればいいですか?
　>

点Fのx座標は　x^2+y^2=4 に　y=√３ｘ－１　を代入して

4x^2-2(√３）ｘ－３＝０

解の公式で　ｘ＝｛(√３）＋－（√［３＋１２］）｝／４

＝｛√３＋－√（１５）｝/4

Fのx座標は　大きいほうだから　｛√３＋√（１５）｝/4

です。計算途中の根号の中に、無理数は入りませんね。

どこかで計算マチガイされていませんか？

こんばんは。