食塩水の問題

以下中学の２次方程式の問題について質問します。

「10% の食塩水が 200g 入っている容器から xg の食塩水をくみ出し、かわりに xg の水を入れた。よくかき混ぜてから、また xg の食塩水をくみ出し、かわりに xg の水を入れた。この時、食塩水中の食塩の量は 5g になった。x の値を求めよ。」

式：20×(200-x/200)×(200-x/200)=5
　　　　　　　　　　　　　　　　x=100

この(200-x/200)の部分が何の割合について示しているのかいまいち分かりません。

正直、私がこの問題の何に悩んでいるのかもはっきりせず、もやもやしています。

これを解くにあたっての考え方/コツなどを教えて頂けますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/04 17:31

最初、濃度10%の食塩水200g中の食塩の量は

　200*10/100=20g
濃度10%の食塩水200gから食塩水xgを汲み出すと
汲み出した食塩水xgの中の食塩の量は 20*x/200=x/10 g
残った食塩水(200-x)g中の食塩の量は
20*(200-x)/200g
残った食塩水（濃度10%）(200-x)gに水xgを加えると
薄められた食塩水は200gになるが、食塩の量は同じで変わらない。
薄められた食塩水からxgを汲み出すと。
　汲み出した食塩水xg中の食塩の量は 20*((200-x)/200)*x/200 g
残った食塩水(200-x)g中の食塩の量は 20*((200-x)/200)*(200-x)/200 g
残った食塩水(200-x)gに水xgを加えて200gの食塩水にするが、食塩の量は水を加える前の食塩の量と同じだから
　20*((200-x)/200)*(200-x)/200 g
この食塩水中の食塩の量が5gなので
　20*((200-x)/200)*(200-x)/200　=5 g
という方程式が成り立つ訳です。

この方程式の導出では、残った食塩水中の食塩の量の変化に注目して、式を立てています。

お分かりになりましたでしょうか？

[確認]
食塩水の濃度{%}
＝[食塩の量(g)/{水の量(g)+食塩の量(g)}]×100 [％]
であることをしっかり覚えていれば、食塩水の問題は解くことができるでしょう。

この回答へのお礼

私はどうやらx/200という割合に違和感を覚えていたようです。値引きや人数と同様に、100分の○○という割合が一発で表せるような錯覚があり、その分子にあてはまる数字を思考の中心に方程式を組み立てようとしていました。全体分の一部が割合という大原則を改めて意識することができましたし、そこからは問題の流れがすんなり理解できました。主観たっぷりの文章なので読みづらいかもしれませんが。。ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/05 11:43

No.4 回答者： watecolor1969 回答日時： 2013/08/04 16:20

食塩水の問題を解くときは

各操作後の

食塩の量(重さg)に着目

して
解いていくことが定石です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/05 11:31

No.3 回答者： Classified 回答日時： 2013/08/04 16:08

式の書き間違いでは？

20 x (1 - x/200 x ) 1 - x/200) = 5.

で、　( 1 - x/200 ) は、容器全体を1 として、くみ出した部分の割合が x/200 だから、容器にのこる割合が (1 - x/200)

この回答への補足

食塩水からxgの食塩水を引いた割合＝元々の食塩水中の塩の量から、引いた分の食塩水中の塩の量を引いた割合になる、つまり、(食塩水ーxg食塩水の割合)=(元々の塩ー引かれた塩の割合)、ということでしょうか？くどい言い方ですみません。

補足日時：2013/08/04 16:51

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2013/08/04 16:05

おっと失礼。

最後にxグラムの水を入れたときの式が間違っていました。

xグラムの水を入れた。
全体は200グラム。食塩は(200 - x)^2/2000グラムのまま。
このときの食塩の量が5グラムであるから、
(200 - x)^2/2000 = 5 ← 先ほどの回答ではここが間違っていました。
(200 - x)^2 = 10000
200 - x = ±100
x = 100, 300
もともと200グラムであったから、x = 300は不適。
∴100グラム

この回答へのお礼

ありがとうございました。自分でも紙に書いて計算しましたが、順を追えたおかげで、計算の過程がよく分かるようになりました。

お礼日時：2013/08/04 16:43

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/08/04 16:02

初期状態：全体は200グラム、濃度は10%。

よって、食塩は20グラム。

xグラムの食塩水をくみ出した。
全体は(200 - x)グラム。濃度は10%のまま。
よって、食塩は(200 - x) × 10 ÷ 100 = (200 - x)/10グラム。

xグラムの水を入れた。
全体は200グラム。食塩は(200 - x)/10グラムのまま。
よって、濃度は(200 - x)/10 ÷ 200 × 100 = (200 - x)/20％。

xグラムの食塩水をくみ出した。
全体は(200 - x)グラム。濃度は(200 - x)/20％のまま。
よって、食塩は(200 - x) × (200 - x)/20 ÷ 100 = (200 - x)^2/2000グラム。

xグラムの水を入れた。
全体は200グラム。食塩は(200 - x)^2/2000グラムのまま。
このときの食塩の量が5グラムであるから、
(200 - x)^2/5 = 2000
(200 - x)^2 = 10000
200 - x = ±100
x = 100, 300
もともと200グラムであったから、x = 300は不適。
∴100グラム

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/04 16:40