微分方程式の問題

d2y/dx2=2y^3+2yを満たすy(x)を求めよ。
ただし、y(0)=0 y'(0)=1

という問題です。

d2y/dx2=-y ならまだわかりますが、この問題は
どこから着手すればいいすらわかりません。

どなたわかる方、ご教授お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/06 18:24

(dy/dx)^2 = (y^2+1)^2 から

dy/dx = ±(y^2+1) ですが、

初期条件 y'(0) = 1 があるので、
少なくとも x = 0 の近傍では
dy/dx = y^2+1 のほうと決まります。

y^2+1 = -(y^2+1) となる実数 y が
存在しないことから、
dy/dx = y^2+1 の解と
dy/dx = -(y^2+1) の解が
微分可能に接続されることはなく、
全域で dy/dx = y^2+1 だと判ります。

この回答へのお礼

ご丁寧にご回答いただき、ありがとうございました。
とても勉強になりました。

お礼日時：2013/08/06 18:40

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/06 14:50

＞ ydy/dxをxで積分すると0.5y^2になると思いますが...

合っています。それが解るなら、
p dp/dx を x で積分して、そこに p = dy/dx を代入
することもできますね。

この回答への補足

申し訳ありません。質問者です。
書くところがなくなったので補足の欄を使わせてください。

もう一回計算したところ、確かにalice_44さんがおっしゃった結果
になりました。失礼しました。

ただ、(dy/dx)^2=(y^2+1)^2のところは2乗を外すと
dy/dx=y^2+1
-dy/dx=y^2+1
の二つの結果になると思いますが、そこはどうやって符号を
決めたのか教えていただきますか。

補足日時：2013/08/06 16:46

この回答へのお礼

何度もすみません。
能力不足でおっしゃることはよく理解できません。

d2y/dx2=2y^3+2yの両辺にdy/dxを掛けて積分すると
dy/dx=0.5y^4+y^2+1
(自分の計算では)という結果を得ましたが...

alice_44さんはdy/dx=y^2+1という結果でしたが、

私の計算ではどこが間違っているのか全くわかりません。
ここらへんの計算はもう少し詳しく書いていただけますでしょうか。

お礼日時：2013/08/06 16:06

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/06 13:13

d^y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) ですね.

ちなみに ydy/dx を x で積分できますか?

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ydy/dxをxで積分すると0.5y^2になると思いますが...
合っていますか。

お礼日時：2013/08/06 14:27

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/05 14:09

おや、しまった。

実際にやってみると、
「yの4次式」が y^4 + 2y^2 + 1 になるので、
dy/dx = y^2 + 1 ですね。
退化して、楕円積分にはならない場合でした。
y = tanθ で置換すれば、続きも解けます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

最初の方程式の両辺にdy/dxをかけて積分するところからわかりません。

右側でしたら、0.5y^4+y^2+Cになると思いますが、
左側の(d2y/dx2)(dy/dx)の積分はどうなりますか？dy/dxですか。

能力不足で申し訳ありませんが、もう少し詳しく教えいただけませんでしょうか。

お礼日時：2013/08/05 20:58

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/04 18:43

両辺に dy/dx を掛けてから x で積分すれば、

dy/dx = √(yの4次式) と変形できます。
変数分離した後、「第一種楕円積分」か
「ヤコビ楕円関数」を google 検索かな。