ベクトル全体の成す群の自己準同型環について

ベクトル全体の成す群の自己準同型環について、以下の2つのことがわからず大変困っています。

・例えば、R^2（実平面上のベクトル全体）からR^2への自己準同型写像全体は、「実平面上のベクトルの定数倍と回転を表す写像全体からなる」は正しいか？(定数倍は確かに正しいと思いますが、回転に関してはあまり自信がありません。)

・ベクトル空間の定義のうちの4つ(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF% …参照) (加法に対するスカラー乗法の分配律a(u + v) = au + av、体の加法に対するスカラー乗法の分配律(a + b)v = av + bv、体の乗法とスカラー乗法の両立条件a(bv) = (ab)v、スカラー乗法の単位元の存在))において、それが「体 F からベクトル全体の成す群の自己準同型環への環準同型 ƒ が存在すること」と対応していることがわかりません。
※分配律が準同型に対応していることは分かりますが、他がわかりません。

記述がなかなか上手く書けず、煩雑になってしまい大変恐縮ですが、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.1 ベストアンサー 回答者： ramayana 回答日時： 2013/08/13 20:32

まず、突っ込みをひとつ。

「定数倍は確かに正しいと思いますが、回転に関してはあまり自信がありません。」「分配律が準同型に対応していることは分かりますが、他がわかりません。」という記述から、問題を理解されていないことが伺えます。

「定数倍と回転を表す写像全体」が問題になっているとき、定数倍は正しいとか、回転は自信がないとか言うのは、ナンセンスです。「定数倍は確かに準同型だけど、回転が準同型かどうかは自信がない」なら、まだ分かるけど。

また、ベクトル空間の様々な性質のうち分配率だけをとりだして、それが準同型に対応しているなどと言うのもナンセンスです。

上の突込みを納得されたという前提で、ヒントを掲げます。

（前段の問題について）

「R^2からR^2への自己準同型写像全体は、実平面上のベクトルの定数倍と回転を表す写像全体からなる」は、明らかに間違い。定数倍と回転を結合した、2 倍し 90 度回転する写像は、定数倍でも回転でもないが自己準同型である。

「R^2からR^2への自己準同型写像全体からなる環は、ベクトルの定数倍を表す写像と回転を表す写像から生成される」ならどうか。これも間違い。(x,y) を (ax,by) に移す自己準同型は、 a と b が異なるとき、定数倍を表す写像と回転を表す写像から生成されない（定数倍と回転から出発して写像の結合と和をどう組み合わせても構成できない）。

なお、回転が準同型かどうか分からないということなら、ベクトル空間での回転の定義を確かめれば分かるはず。ちなみに、ベクトル空間 R^2 での回転は、同じR^2 という記号でも、平面 R^2 での回転とは意味が違うことに注意。

（後段の問題について）

何を聞きたいのか不明、というのが率直な印象。どんな体 F と どんなベクトル空間 V を持ってきても、F から V の自己準同型環への環準同型は、必ず存在する。F の任意の元に 0 写像を対応させる写像を考えればよいからである。

こんな例でなく、何か特殊な環準同型の存在を指しているのなら、それをちゃんと記述すべき。

この回答へのお礼

大変丁寧にお教えいただき有り難うございます。
お与え頂いたヒントをもとに、もう一度考えてみたいと思います。

お礼日時：2013/08/14 22:15