0<θ<πとする。xの2次方程式x^2+(sinθ+√3cosθ)x+(2+√2)=0…⓵が異なる2つの実数解をもつようなθの値の範囲を求めよ。
⓵の判別式をDとするとD/4=√アsin2θ+cos2θー√イであるから⓵が異なる2つの実数解をもつ条件は√アsin2θ+cos2θー√イウ0である。ウに当てはまるものを(2)~(4)のうちから一つ選べ。(2) < , (3) = ,(4) >
よって⓵が異なる2つの実数解をもつようなθの値の範囲はπ/エオ<θ<カ/キクπである。
自分では難しくて解けませんでした。ご回答宜しくお願いいたします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>0<θ<πとする。
xの2次方程式x^2+2(sinθ+√3cosθ)x+(2+√2)=0…⓵が異なる2つの実数解をもつようなθの値の範囲を求めよ。D/4=(sinθ+√3cosθ)^2-(2+√2)=sin^2θ+3cos^2θ+2√3sinθcosθ-2-√2
=1+2cos^2θ+√3sin2θ-2-√2 (倍角公式)
=(2cos^2θ-1)+2+√3sin2θ-2-√2
=cos2θ+√3sin2θ-√2 (倍角公式)
異なる2つの実数解を持つのは
D/4>0
すなわち
cos2θ+√3sin2θ-√2>0 (2)
ア:3 イ:2 ウ:(4)
(2)を解くにはいわゆる単振動の合成を行う。
(2)/2
(1/2)cos2θ+(√3/2)sin2θ>√2/2
1/2=sin(π/6), √3/2=cos(π/6)
より左辺は
(1/2)cos2θ+(√3/2)sin2θ=sin(π/6)cos2θ+cos(π/6)sin2θ=sin(2θ+π/6) (加法定理)
よって(2)は
sin(2θ+π/6)>√2/2
これはしっかりグラフを書くこと。ここで実力が出る。
交点は√2/2=π/4
なので
2θ+π/6=π/4, 2θ+π/6=π-π/4
から求める。
結果は
π/24<θ<7π/24
エ:2 オ:4 カ:7 キ:2 ク:4
No.1
- 回答日時:
とりあえず、√ア とか √イ とかは置いといて、
D を何らかの式で書いてみよう。
それから、ウ の答えは自力で解らないと。
そこまでが、二次方程式に関する部分。
そこから先は、三角比に関する部分となる。
まず、何で躓いたのかを突き止めることから
始めよう。
解ったとこまでを、補足に書いてごらんなさい。
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