指数関数の計算について

とある問題集にてexp(-ln2*(x))の式でｘが１より十分小さい時、この式を1-0.693*xと近似できるとのことが書いてあるのですが、どのような変形を行えばこのような式になるのでしょうか？

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/14 05:48

|x|が１より十分小さい時

exp(x)のマクローリン展開
exp(x)=1+x+x^2/2!+ …
の第2までで打ち切り近似をすれば
exp(x)≒1+x
でxを-(ln2)xとおけば|(ln2)x|も１より十分小さければ
exp(-(ln2)*(x))
≒1+(-(ln2)x)
＝1-(ln2)*x
ln(2)＝0.69314718055995…なので
≒1-0.693*x
と近似できます。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/14 04:50

ln2=aとおくと(a=0.693)

exp(-ln2*(x))=exp(-ax)

x=0の周りのテーラー展開より

exp(-ax)=1-ax+(ax)^2/2-(ax)^2/6+....

第２項までとって

exp(-ax)≒1-ax=1-(ln2)x=1-0.693x