数的処理の式の立て方がわかりません。

数的処理のこの問題について質問です。

A君はP地点からQ地点まで、P地点から最初の６ｋｍは走って、Q地点までの残りは歩いっていった。
このように行くと、P地点からQ地点まで、すべて走って行くよりも３０分遅く着く。
また、すべて歩いていくよりは１時間早く着くという。走る速度が歩く速度よりも毎時８ｋｍ早いとすると、P地点からQ地点までの距離はいくらか。

最初走って歩いた時にかかる時間を(1)、
全部走るのにかかる時間を(2)、
全部歩くのにかかる時間を(3)とすると、
３つの時間の関係性は図で表すとこんなかんじになりますよね？

　　　0.....30.....60........120　　(分)
(1)　　------
(2)　　---
(3)　　------------

ここから式を立てるときに、私は、分を時間に直して、

(1)=(2)+1/2
(1)=(3)-1

というふうにしたのですが、
模範解答を見ると、

(2)=(1)+1/2
(3)=(1)+1

と式を立てて解いています。
前者だと答えがでなくて、後者だと答えが出ます。
なぜこのような式のたてかたになるのかわかりません。
(2)=(1)+1/2なんですか？(2)=(1)-1/2ではないのでしょうか？

数的数理を勉強して日が浅いので、丁寧に教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/08/18 12:36

数的推理の問題ですね。

質問の趣旨からずれるかもしれませんが、私ならこう解きます。
すべて歩いていく場合との時間の差１時間は、走った６ｋｍの部分で生じているから、
歩く速さをｘｋｍ/h　とし　走る速さを（ｘ＋８）ｋｍ/h　とすると
６/x-６/(x+８）＝１
これを解くと、ｘ＝４
したがって歩く速さは４ｋｍ/h　走る速さは１２ｋｍ/h
すべて走った場合との時間の差1/2時間は、残りの歩いた部分で生じているから
途中から歩いた部分の距離をｙｋｍとすると
ｙ/４－y/１２＝１/２
これを解いてｙ＝３
結局ＰＱ間の距離は９ｋｍということになります。

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/08/15 14:46

>

http://uploda.cc/img/img520c623dcaafa.JPG


t1 ～ t3 の連立から出た x = 3v(v+8)/16 は、消去過程の途中式ですかネ。

t1 ～ t3 の連立にて、
　　たとえば、t1 = t3 - 1 の両辺から x/v を差し引いてしまえば、{ 6/(v+8) } - (6/v) = -1
なので、v の二次方程式。

　　　

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/15 12:12

最初に答えておきますが質問者の式が正しくて模範解答なるものは間違っています。

数的処理という言葉がどの業界の言葉か知りませんが、数学として扱うか、算数として扱うかで処理の仕方が変わってきます。もちろん結果は同じです。もっと端的に言うと方程式を使ってよいか否かということです。

＞(1)=(2)+1/2
(1)=(3)-1

この書き方を見るといわば方程式のような扱いですが、残りはどうしていますか。

方程式で考えるときは未知数の数と方程式の数が一致していることが必要です。

(1),(2),(3)以外に歩く速度u,走る速度vおよびPQ間の距離aが未知数になりますが、

算数的発想によって未知数を減らす工夫はあると思いますが、その辺がよくわかりません。


ここでは(1)=t1,(2)=t2,(3)=t3として、方程式の考え方で解いてみます。

質問者が考えたように

t1=t2+1/2　　　(1)

t1=t3-1　　　　　

です。(2)は1を移項することによって

t3=t1+1 (2)

としても同じです。これは模範回答もあっています。

問題から

6/v+(a-6)/u=t1 (3)

a/v=t2 (4)

a/u=t3 (5)

v=u+8 (6)

が成り立つことがわかりますか。

未知数がt1,t2,t3,u,v,aで6個、方程式が(1)～(6)で6こよってこの連立方程式はとけます。

(4)、(5)を(3)に代入して

6(t2/a)+(a-6)(t3/a)=t1 (7)

t1=xで表すと(1)、(2)より

t2=x-1/2　　(8)

t3=x+1　　　　(9)

これらを(7)へ代入して

6(x-1/2)/a+(a-6)(x+1)/a=x

これを整理すると

a=9 (10)

が出てきます。

(6)、(8)、(9)、(10)を(4)、(5)に代入すると

9/(u+8)=x-1/2

9/u=x+1

下の式から上の式を引き算して

9/u-9/(u+8)=3/2

整理すると

u^2+8u-48=0

因数分解して

(u+12)(u-4)=0

u>0なので

u=4

(6)に代入して

v=12

(2),(5)にa,uの値を代入して

9/4=x+1

x=t1=5/4

t2=t1-1/2=3/4

t3=t2+1=9/4

この回答への補足

おおまかな説明だったにもかかわらず、細かな回答ありがとうございます！
数的処理は、公務員試験で出てくる科目です。
とりあえず自分の考え方が合っていたようでよかったです。

私の解き方は、歩きの速さをｖｋｍ/時、走りの速さを(ｖ+８ｋｍ)/時とし、

t1=6/v+(x-6)/(v+8)
t2=x/(v+8)
t3=x/v

として、

t1=t2+1/2
t1=t3-1

より

t2+1/2=t3-1

これに上にあるt2、t3を代入して解こうとしました。
でも何度計算をしても答えが出てこないです。
http://uploda.cc/img/img520c623dcaafa.JPG
大雑把ですが、画像にあるような計算をして、xの値が出たところでどうしていいかわからなくなってます。
spring135さんの示してくださった、６つ文字を使って解く方法でもできそうですが、
２つの文字を使って解く解き方を知りたいです。
もし余裕がありましたらこちらのほうも答えてくださると助かります。

補足日時：2013/08/15 14:09