線形代数の難問です

線形代数の問題ですが、解答・解説が無いため困っています。

f(x,y,z)=3x^2+3y^2+2z^2-2xz-4yz-2z
1)この関数をf(x,y,z)=(x y z)A(x y z)'+b(x y z)'+c
とした時のA,b,cを求めよ。（Aは対称行列、bは行ベクトル、cはスカラー、(x y z)'は列ベクトル）
2)行列Aの行列式の値と固有値を求めよ。
3)関数fの極値点とその時の関数の値を求めよ。また、その極値点が最小点、最大点、鞍点のいずれになるかを書け。
4）f(x,y,z)=27となる曲面と直線(x-1)/2=(y+1)/1=(z-3)/1との交点を求めなさい。

1),2)は自信がないですが答えが出たのであっているでしょうか？
1)はAをa,b,c,dの4つの文字で表し、Aは
3 0 -1
0 3 -2
-1 -2 3
b=(0 0 -z-2)'
c=0
2)は行列式が-6、固有値が3,3±√5
3)以降はよくわからないので詳しい方解答・解説をおねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/24 12:09

1)

A,bとも間違い。
c=0は合っている。

A=
[3,0,-1]
[0,3,-2]
[-1,-2,2]

b=[0,0,-2]

2)
>行列式が-6、固有値が3,3±√5
1)の正しいAを用いてないので
det(A)も固有値も間違い。
1)の正しいAを使って計算をやり直して見てください。

計算すると
det(A)=3, 固有値=3,(5±√21)/2
となります。

3)
停留点(極値点)は
f_x=f_y=f_z=0を解けば求まります。
f_x=6x-2z=0
f_y=6y-4z=0
f_z=4z-4y-2x-2=0
連立方程式を解いて
(x,y,z)=(1,2,3)
停留点(1,2,3)でのfの値はf(1,2,3)=-3
これが極小点(最小点)となることは参考URLのヘッセ行列を使う判定条件で調べることができます。
f(x,y,z)のヘッセ行列を求めると
H(f)=
[6,0,-2]
[0,6,-4]
[-2,-4,4]
これは対称行列で
det(H)=24≠0(非縮退)
H(f)の固有値tを求めるとt=6,5+√21,5-√21で全て正定値
したがって停留点(x,y,z)においても
H(f)は正定値対称行列であるからf(x,y,z)は(x,y,z)=(1,2,3)で
極小値f(1,2,3)=-3をとります。f(x,y,z)は極小点を1つしか持たず極大点を持たない連続関数なのでf(1,2,3)=-3が最小値となります。
つまり極値点(1,2,3)は最小点となります。

4)
(x-1)/2=(y+1)/1=(z-3)/1=tと置くと
x=2t+1,y=t-1,z=t+3　...(※)
これを
f(x,y,z)=3x^2+3y^2+2z^2-2xz-4yz-2z=27
に代入してtを求める。
　9t^2-6t+24=27
　∴t=1,-1/3
(※)にt=1,-1/3を代入すれば、２つの交点の座標
(3,0,4),(1/3,-4/3,8/3)
が求まる。
　

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘッセ行列

この回答へのお礼

ありがとうございます。
非常にわかりやすかったです。

ですがAの導出方法がまだよくわかりません。
解答を拝見すると、対称行列の設定を
A=
[a,b,c]
[b,a,d]
[c,d,a]
とやったのがまずかったようですが、

A=
[a,b,c]
[b,e,d]
[c,d,f]

とやればよいのでしょうか？

お礼日時：2013/08/24 15:12

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/24 17:23

No.2です。

ANo.2の補足の質問
>A=
>[a,b,c]
>[b,e,d]
>[c,d,f]

>とやればよいのでしょうか？

これならOKですよ。

[x,y,z]*

[a,b,c][x]
[b,e,d][y]
[c,d,f][z]

=ax^2+2bxy+2cxz+ey^2+2dyz+fz^2

対称行列Aの要素と多項式の二次の係数の関係を良く見比べてください。
xy,yz,xzの係数は1/2倍して行列Aの要素aij(i≠j)の要素となります。
x^2,y^2,z^2の係数a,e,fは行列Aの要素aij(i=j=1,2,3)の要素となります。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。
ほんとうに助かりました。

お礼日時：2013/08/24 17:46

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/24 02:37

1) b がなぜそうなるんでしょうか? z はどこから?

2) 行列式と固有値の関係を考えれば「何かがおかしい」ことには気付くはず.
3) 「よくわからない」ってことはだいたいわかってるってことだね. どこまでわかってどこで困ってる?
4) 実はこれは「線形代数」とは直接関係ない (と考えることができる). ただ 2次方程式を解けばいい.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
3)についてはヘッセ行列を使いそうだなというところまでしかわかりませんでした。
次からはもう少し具体的に書くことにします。

お礼日時：2013/08/24 17:45