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A 回答 (3件)

A=


(4,-1)
(2,1)
E=
(1,0)
(0,1)
P=A-xE
P^2=P
(1)
P(P-E)=0
(A-xE)(A-xE-E)=0
(A-xE)(A-(x+1)E)=0
A≠xE
A≠(x+1)E
A-xE≠0
A-(x+1)E≠0
|A-xE|≠0を仮定するとA-(x+1)E=0となって
A-(x+1)E≠0に矛盾するから|A-xE|=0
|A-(x+1)E|≠0を仮定するとA-xE=0となって
A-xE≠0に矛盾するから|A-(x+1)E|=0
|A-xE|=|A-(x+1)E|=0だから
xとx+1が両方Aの固有値となる
|A-xE|=
|4-x,-1|
|2 ,1-x|
=(4-x)(1-x)+2=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0
Aの固有値は2,3だから

x=2

(2)
P=A-xE=
(2,-1)
(2,-1)
Aの固有値2に応ずる固有ベクトルは(1;2),(;は改行)
Aの固有値3に応ずる固有ベクトルは(1;1)だから
H=
(2,0)
(0,3)
M=
(1,1)
(2,1)
とすると
A^n=M(H^n)M^{-1}
=
(1,1)(2^n,0)(-1,1)
(2,1)(0,3^n)(2,-1)
=
(2*3^n-2^n ,2^n-3^n )
(-2^{n+1}+2*3^n,2^{n+1}-3^n)
=a_nP+b_nE
=
(2a_n+b_n,-a_n)
(2a_n, b_n-a_n)

2a_n+b_n=2*3^n-2^n
-a_n=2^n-3^n
2a_n=-2^{n+1}+2*3^n
b_n-a_n=2^{n+1}-3^n

a_n=3^n-2^n
b_n=2^n
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漸化式でごりおしするより二項定理>#3.

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x=2 となるのは条件からすぐわかるのでやっかいなのは (2) でしょう。



A^n を n = 1 から P^2=P を利用して順に展開してみれば、b_n=2^n なのはすぐにわかります。

漸化式は

a_n = 3・a_(n-1) + 2^(n-1)

項を計算しない形で比べてみると

a_1 = 1
a_2 = 3・1 + 2^1
a_3 = 3(3・1 + 2^1) + 2^2 = 3^2 + 3・2 + 2^2
a_4 = 3(3^2 + 3・2 + 2^2) + 2^3 = 3^3 + 3^2・2 + 3・2^2 + 2^3

もう法則は見えますよね。

#オンラインなので間違いがあったらすいません。
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