一次関数の応用問題の解き方がわかりません…

弟の数学の宿題を手伝っているのですが、どうやって答えを導いたらよいか非常に苦戦しています。ちなみに「一次関数」の応用問題です。答えの導き方がわかる方、どうか助けてください！ お願いします！！

上図のように、x座標とy座標がともに整数である25個の点に、黒と白のしるしをつけ、これらの点をそれぞれ黒点、白点とよぶことにする。いま黒点P(a,b)からbだけ右に進み、aだけ下に進んだ点をQとし、2点P、Qを通る直線PQをひくものとする。次の問いに答えなさい。

(問）ある黒点Pをもとにしてひいた直線PQ上に、白点(1,5)がある。この黒点Pの座標を求めよ。


答えはP(3,2)だそうです。

どうやって答えを導いたらよいか教えていただけたら嬉しいです。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2013/09/14 03:02

　答の候補はたかが知れた数しかないんですから、攻め方は色々あると思います。

んでもって、いろんなやり方でやってみると勉強になるんです。…とかノタマウだけじゃ酷いので、一例を挙げます。

[1] 問題の直線LはP=(a,b)とQ=(a+b,b-a)を通る。ということは、一次方程式
　　(x,y) = (a,b)+(b,-a)t　(tは実数）
で表せます。これは連立方程式
　　x = a + bt
　　y = b - at
という意味です。(x,y)=Pになるのはt=0のとき、(x,y)=Qになるのはt=1のときですね。
　ふたつの式からtを消去できますが、そうしてしまうとかえって見通しが悪くなるように思います。

　ついでにちょっと幾何学をしてみましょう。原点OとPを結ぶ直線をMとすると、MはLと直交していて、交点がPです。OPの距離とPQの距離は同じですから、⊿OPQは直角二等辺三角形になってるわけです。

[2] 点Pは黒点である。まず、a,bは共に1～5の整数でなくてはなりません。そして、黒点ってことはつまり、a+bは奇数である。（ご質問の図をよく見れば分かるでしょう。）なので、a, bの一方は奇数で他方は偶数である。

[3] Lがどれかの格子点（x,yがどっちも整数になる点）を通るには、tはどんな値であるかを考えます。
　もちろん、もしtが整数なら(x,y)は格子点である。でもそれだけじゃなく、a, bがどちらもnの倍数(ただしn≧2)であれば、tが
　　t = m/n, n≧2
のときに(x,y)は格子点です。
　しかしa, bの一方は奇数で他方は偶数である。「どちらも2の倍数」ということはない。なので、tが整数でないなら、
　　t = m/n, n≧3
である。ということは：

　もしtが整数でなくても(x,y)が格子点になるのだとすると、a≧1, b≧1ですから、
　　a = An, b = Bn, n≧3, A≠B, A≧1, B≧1
であるような正の整数A, Bがあるってことです。この条件を満たすAとBがどんな値であっても、（たとえばA,Bの一方が1, 他方が2だとしても）aかbのどっちかは2n≧2×3=6以上です。だから、図にある黒点・白点は、どれもP=(a,b)ではないことになります。これは問題の設定に反してますね。

　だから、(x,y)が格子点になるのはtが整数の時に限る（a, bは共通の素因数を持たない。a,bは互いに素である）と分かります。

[4]　(x,y)=(1,5)となるのはt=Tの時である、としましょう。
　　(1,5) = (a,b)+(b, -a)T　（Tは整数）
(1) T≧1のとき、1≧a+b, 5≦b-a 。しかしa≧1, b≧1なので、1≧a+bになることはありません。だからT≦0である。
(2) T≦-2のとき、1≦a-2b, 5≧b+2a。しかし、a≧1, b≧1かつa≠bなので、5≧b+2aとなることはありません。だから、T≧-1である。
(3) T=0のとき、つまり(1,5)=(a,b)=Pである。これなら確かに(x,y)=(1,5)です。しかしa+bが偶数なので、Pは白点であり、題意を満たしません。
(4) 残るはT=-1のとき。つまり(1,5)=(a-b,b+a)である。これなら確かに(x,y)=(1,5)です。ツルカメ算によりa=3, b=2。だからP=(3,2), Q=(5,-1)です。a+bが奇数なので、Pは黒点。題意を満たしています。（Qは白点でも黒点でもないですね。）

[5] 以上をもう一回見直してみますと、点Pを決めて、OPを一辺とし∠OPQが直角である直角二等辺三角形を作って、そのもうひとつの頂点をQとした。当然Qは格子点になる。このとき、辺OP上には両端を除いて格子点がない（従って辺PQ上にも両端を除いて格子点がない）ようなP、つまりaとbが互いに素であるようなP=(a,b)が選ばれたのです。次に、OPを対称軸としてQの鏡像Q'を考えると、Q'も当然格子点になる。このQ'こそが(1,5)という訳ですね。

No.5 回答者： sirayaki 回答日時： 2013/08/28 20:52

　そういうことでしたか。

図入りで、再度質問されたのですね。25個の中のa とb はどれかで、しかも上下左右の点は当てはまりません。内部の９個の点について調べればよいのでは。直角三角形を作って。

No.4 回答者： MSZ006 回答日時： 2013/08/28 18:54

#2ですが最初の式を誤りました。

正しくは
y-b=(d-b)/(c-a) ×(x-a)
です。

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2013/08/28 17:38

黒点が満たす直線の式は、次の4つである（別の考え方もある）。

y = x + 3 …… (1)
y = x + 1 …… (2)
y = x - 1 …… (3)
y = x - 3 …… (4)
ただし、いずれの式においても、1 ≦ x ≦ 5かつ1 ≦ y ≦ 5
黒点Pの座標が(a, b)であるから、Qの座標は(a + b, b - a)
直線PQの傾きは、(b - a - b) / (a + b - a) = -a / b
この傾きの直線が点P(a, b)を通るから、
PQの式はy - b = -a(x - a) / bより、y = -a(x - a) / b + b …… (5)
(5)は(1, 5)を通るから、
5 = -a(1 - a) / b + b
5b = a(a - 1) + b^2
a(a - 1) + b(b - 5) = 0 …… (6)

Pが(1)の上にあるとすると、b = a + 3
(6)に代入する。
a(a - 1) + (a + 3)(a - 2) = 0
2a^2 - 6 = 0
a = ±√3
aは整数でなければならないから、不適

Pが(2)の上にあるとすると、b = a + 1
(6)に代入する。
a(a - 1) + (a + 1)(a - 4) = 0
2a^2 - 4a - 4 = 0
a^2 - 2a - 2 = 0
a = 1 ± √3
aは整数でなければならないから、不適

Pが(3)の上にあるとすると、b = a - 1
(6)に代入する。
a(a - 1) + (a - 1)(a - 6) = 0
(a - 1)(a + a - 6) = 0
(a - 1)(2a - 6) = 0
a = 1, 3
b = 0, 2
(a, b) = (1, 0)は黒点の条件を満たさないので不適
(a, b) = (3, 2)は黒点の条件を満たす

Pが(4)の上にあるとすると、b = a - 3
(6)に代入する。
a(a - 1) + (a - 3)(a - 8) = 0
a^2 - 12a + 24 = 0
a = 6 ± √12
aは整数でなければならないから、不適

以上の議論から、点Pの座標は(3, 2)

No.2 回答者： MSZ006 回答日時： 2013/08/28 17:31

一般的に２点P(a,b),Q(c,d)を通る直線の式は、

y-a=(d-b)/(c-a) ×(x-b)

ですから、今回はP(a,b)とQ(a+b,b-a)を当てはめれば直線の式が出ます。

その出てきた式に(1,5)を入れて整理すると、aとbの方程式になります。
aとbは限られていますから、あとは地道に？当てはめながら計算していくのでしょうか・・・

No.1 回答者： sirayaki 回答日時： 2013/08/28 16:50

　さきほど回答した者です。

説明で分からないところはどこでしょうか。

この回答への補足

傾きが-a/bと記号でしか求めることができないんです…　

5=-a/b×1＋n（求める切片）

ここから切片を求めるにはどのようにしたらよいでしょうか？

本当に申し訳ありません。

補足日時：2013/08/28 17:21