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最適制御ででてくる状態と随伴変数について教えてください.
状態と随伴変数の内積が一定になる,というのはどういみでしょうか?

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A 回答 (2件)

ANo.1へのコメントについてです。



> どのような一定値

yが dx/dt=Ax の解であるとき、勝手な定数αについて αyも解。つまり、x'p が取る値そのものには意味がないってことです。
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もしかして


  dx/dt=Ax
で表される系に対して、
  dp/dt= -A' p ( ' は転置のこと)
で表される随伴系(A, xは共にtに依存)を考える、っていう話をなさってるんでしょうか?だとすると、

> どういみでしょうか?

最初の方程式の解xと二番目の方程式の解pの内積 (x' p)が一定になるってことを利用して、一方を解く代わりに他方を解いても答が得られる(両者は双対(dual)である)っていう意味です。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます!まさにそのことです!具体的にはx'pはどのような一定値になるということなのでしょうか?

お礼日時:2013/10/02 19:31

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Q境界値問題と初期値問題ってどう違うのでしょうか?(数値解析)

数値解析の勉強をしているのですが,この2つの
違いがよくわかりません.わかりやすい言葉で説明
するとどういう事なのでしょうか?

解析しているのは流体力学で,バーガーズ方程式等を
やっているのですが,

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

数学的には同じでしょうが、数値解析上は大きな違いがあります。特殊な場合を除いて、境界値問題の方が、初期値問題よりも解くのが難しいです。そして、応用上は、多くの問題で境界値問題が絡んできます。

(対象とするのが、常微分方程式であるのが、偏微分方程式であるのか、それが楕円型、双曲型であるのか等、背景にはいろいろとあるのですが、それらはこの際飛ばしますので、細かいところに厳密さを欠くことをご容赦下さい。)

初期値問題は、与えられた初期値を満たす解を求めるもので、物体の落下で例えるのなら、t=0でz=0の高さから初速度v0で落とすときに t 秒後の位置と速度を求めるような問題です。運動方程式が与えられていたら、それをそのまま積分すれば落下軌道は求まります。

一方、境界値問題とは、物体の落下問題で例えるのなら、t=0 で高さz=0からある初速度で落とし、z=-hにおいて速度が v1 になるような落下軌道を求めるような問題で、この場合t=0においてすべての状態量が分かってはいませんので、素朴に運動方程式を積分してくことは出来ません。いろんなアルゴリズムがあるのですが、一番単純なのは、初速度を仮定して、運動方程式を積分し、z=-h で v1 になるように初速度を修正していくものです。この場合、修正過程で初期値問題を何度も繰り返し解くことになります。初期値問題の発展タイプです。

もう一つ、例えは悪いかも知れませんが、キャッチボールに例えるならば、ボールを単に投げるのが初期値問題、相手のグラブめがけて投げるのが境界値問題です。後者の方が難易度が高いです。

(流体の場合は、流入部や流出部、壁面などで、境界条件が与えられ、また、同時にある時間における流れの状態も指定されることが多いですから、境界値問題でもあり初期値問題でもある初期値境界値問題を解くことになります。定常解を求める場合には、初期値には依存しないので境界値問題となりますが、実用上は、通常の非定常計算コードを用いて初期値問題として解きはじめ、十分な時間まで走らせて収束解を求めます。ですので初期値問題を解くことに変わりはありません。)

どの場合において、初期値問題を解くのが基本となりますから、その手法は身に着けておいた方がいいです。

数学的には同じでしょうが、数値解析上は大きな違いがあります。特殊な場合を除いて、境界値問題の方が、初期値問題よりも解くのが難しいです。そして、応用上は、多くの問題で境界値問題が絡んできます。

(対象とするのが、常微分方程式であるのが、偏微分方程式であるのか、それが楕円型、双曲型であるのか等、背景にはいろいろとあるのですが、それらはこの際飛ばしますので、細かいところに厳密さを欠くことをご容赦下さい。)

初期値問題は、与えられた初期値を満たす解を求めるもので、物体の落下で...続きを読む

Q一次遅れ系の制御における時定数Tの求め方

計量士の資格を勉強していると自動制御の問題が出てきました。

単位ステップ応答は1-exp(t/T)である。
一次遅れ系の時定数Tの求め方として2つの方法がある。
一つは、1-exp(-t/T)が63.2%になったとき。
もう一つは、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの原点からの時間を求める。
とあります。
ここで質問なのですが、この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?

また単位インパルス応答はexp(-t/T)です。
これが36.8%になったとき時定数Tを求められることは知っているのですが、
同様に、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの
原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?

Aベストアンサー

>この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?
そうです。
t=Tとおくと、このときの振幅v(T)=1-exp(-T/T)=1-exp(-1)≒0.6321
と定常値の振幅1に対して0.6321は63.21%にあたります。

>原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?
求められます。

過渡応答曲線v(t)=exp(-t/T)に対して、t=0における接線は
u(t)=1-(t/T)ですので、u(t)=0(定常値)になる時間は
1-(t/T)=0からt=T(時定数)が求められます。
このときの振幅はv(T)=exp(-T/T)=exp(-1)≒0.3679
これは定常値(0)までの振幅1に対して36.79%にあたります。


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