ガウス記号の意味が全くわからず、
どう解いていいものやらわかりません…。
y=[2x]
の場合を例にして、教えてください。

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A 回答 (3件)

まだ誰も回答なさってないようなので簡単に。



ガウス記号はその中にある数字を越えない整数を表す記号で、
[2.9]=2 , [4.5]=4
となります。ですから、ご質問のような関数に対しては、
0.0≦x<0.5 → y=0
0.5≦x<1.0 → y=1
    …
となって、xが実数値で連続的に変化しても、その関数は不連続な階段状のグラフになり、一つの区間の始点は●、終点は○になります。

求められている解答がどのようなものかは私には想像もつきませんが、ガウス記号については、ご理解いただけたでしょうか?
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ガウス‐きごう【―記号】


実数 x をこえない最大の整数を[x]で表し、ガウス記号という。例えば、[1.4]=1,[-2.3]=-3など。


Gauss' nototion
n. 【数】 ガウスの記号 《実数 x を超えない最大の整数を表わす記号 x》.




ガウス【Karl Friedrich Gauss】
ドイツの数学者。ゲッティンゲン大学教授兼天文台長。18歳で正17角形の幾何学的作図に成功。最小自乗法・整数論・曲面論・虚数論・方程式論・級数論などを論じたほか、天文学・電磁気学にも精通。数学の王といわれる。(1777~1855)
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burgess_shale さんの回答で完璧です。

若干補足を。

ガウス記号を使うと、正の数は切り捨て、負の数は切り上げになります。
単なる切り捨てでないことにご注意下さい。
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Qオイラーの公式とガウス座標の関係

オイラーの公式e^(iθ)=cosΘ+isinΘの右辺はガウス座標で原点からのベクトルのような感じで理解すべきなのでしょうか。またこれと関連して虚数単位iをかけると90度だけ回転するということとどのような関係があるのか考えるヒントを教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは、e^(ia) (aは実数)は長さ1で実軸とa ラジアンの角度をなすベクトルでいいと思います。


(1) 全ての複素数zは z = re^(ic) と書ける。(r>=0, cは実数)

(2) e^(ia)e^(ib) =e^(i(a+b))

を示してください。これでe^(ia)を他の複素数に掛けることは、その複素数をaだけ回転する事をあらわすことが分かるはずです。

(3) i = e^(ix)

でxを求めてください。これで90°回転が分かるはずです。

Q何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]はΦ^-1,
[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
結局[g]=[Ψ][f][Φ]^-1となると思ったのですがなぜか本には
[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]となっています。何処を勘違いしたのでしょうか?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→...続きを読む

Aベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(回答#2より)
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
>[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数(=成分)の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(...続きを読む

Qオイラーの公式と微積分の関係

sinとcosは微積分において,ちょうどガウス座標での回転に一致しているそうですが,このこととオイラーの公式とはどのようにつながっているのでしょうか。sin をiとおくかcosをiと置くのかわかりませんが、不思議な感じがします。]

Aベストアンサー

すみません,
> (sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる.



(sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=-sin(x) -- (*)となる

と訂正します.

Q[ ]はガウス記号を表し、一般に不等式 x-1<[x]≦x および [

[ ]はガウス記号を表し、一般に不等式 x-1<[x]≦x および [x]≦x<x+1 である。
(I) lim(n→∞)[2*e^n+1]/e^n
自然数nに対し等式 [logk]=n が成立するような整数kの個数をf(n)とする。このとき以下を求めよ。
(II) lim(n→∞)f(n)/e^n+1

高校生です。できるだけわかりやすく説明していただければ幸いです。

Aベストアンサー

再びKulesです。
まあはさみうちの存在を知っていればいかにも使ってくれと言わんばかりの式ですよね。
えっと、先ほどの式ちょっと間違ってて、
n<[logk]≦n+1じゃなくてn<logk≦n+1でしたね。
で、e>1よりe^n<k<e^(n+1)となります。
すなわちe^nより大きくてe^(n+1)よりも小さい整数がいくつあるか、ということなんですが、
これは感覚的なお話になってしまう(=解答としてどう書いたらいいかよくわからん)のですが、
e^(n+1)-e^n前後の値をとるだろうということは容易に想像ができます。A=e^(n+1)-e^nとするならば、
例えばA>4なのにf(n)が2以下ということはあり得ませんし、A<5なのにf(n)が6以上ということもないでしょう。
ただし、A>4ならf(n)は絶対4かというとそんなことはありません。例えば下限(今回でいうとe^n)が2.1で上限(今回でいうとe^(n+1))が6.8の時A=4.7で、間の整数は3,4,5,6の4つですが、
下限が2.8、上限が7.5の時Aは同じく4,7ですが間の整数は3,4,5,6,7の5つあることがわかります。
これらのことを考えますと、A-1<f(n)<A+1ぐらいの範囲ではないかと思われます。
ただ、問題の式を見る限りAに±1されたぐらいで収束値が変わるわけもないので、結構粗くとっても
はさみうちは使えそうですね。

問題は上に書いた内容をどうやって数学の答案っぽく起こすかですが(笑)
残念ながら私にはわかりません…もう受験本番であればなんとなく上のようなことを書いたら少なくとも
部分点が全くないということはないと思います。

参考になれば幸いです。

再びKulesです。
まあはさみうちの存在を知っていればいかにも使ってくれと言わんばかりの式ですよね。
えっと、先ほどの式ちょっと間違ってて、
n<[logk]≦n+1じゃなくてn<logk≦n+1でしたね。
で、e>1よりe^n<k<e^(n+1)となります。
すなわちe^nより大きくてe^(n+1)よりも小さい整数がいくつあるか、ということなんですが、
これは感覚的なお話になってしまう(=解答としてどう書いたらいいかよくわからん)のですが、
e^(n+1)-e^n前後の値をとるだろうということは容易に想像ができます。A=e^(n+1)-e^nとするならば...続きを読む

Qガウス積分を含む関数の微分について

f(u)=∫exp(-ax^2+iux)dx
のuに関する微分df(u)/duを求めるという問題です。iは虚数単位で、a>0です。積分範囲は-∞~∞です。

ガウス積分の公式からexpの最初の項が√π/aになると思ったのですが、オイラーの公式のような∫exp(iux)dxの部分が微分や積分ができません。どうやら答えはf(u)*(-u/2a)になるようなのですが。。

答えがf(u)*(-u/2a)となることを示せれば、1階の微分方程式が成り立ち、解析的にf(u)が決定できそうなんです。すみませんが回答の程よろしくお願いします。

Aベストアンサー

0=∫dx・exp(-a・x^2+i・u・x)・(-a・x^2+i・u・x)'
より
∫dx・x・exp(-a・x^2+i・u・x)
=(i・u/2/a)∫dx・exp(-a・x^2+i・u・x)
=i・u・f(u)/2/a

一方
f'(u)=i・∫dx・x・exp(-a・x^2+i・u・x)

よって
f'(u)=-u・f(u)/2/a

この微分方程式を解けば
f(u)すなわちガウシアンのフーリエ変換が求まる

この微分方程式を解いて補足に書け

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Qオイラーの公式の用い方

オイラーの公式とド・モアブルの定理を利用して3倍角の公式を証明せよ。という問題のなのですが、私にはオイラーの公式の出番がないように思えます。。。
ド・モアブルの定理
(cosθ+i×sinθ)^n=cosnθ+i×sinnθ
でn=3にして実部と虚部を比較するのではだめなのでしょうか??

一応。。。
オイラーの公式
e^iθ=cosθ+i×sinθ

Aベストアンサー

度もあぶるの定理はこの世に存在しなかったとして忘れてしまって結構
オイラーの式によって無用の長物になった
オイラーの定理のみを使って3倍角の公式の導出を補足に書け

QMathematica f[{x, y}]を f[{a, x, y}]に変えたい

関数の f[{x, y}]+g[{z, w}] という式があったときに,これらの式の f や g の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w})の先頭に,a を付け加えて, f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}] のようにしたいと考えています.
(すなわち,f[{x, y}]+g[{z, w}]を f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}]に変えたり,また他の例としては,f[{x, y}]+g[{z, w}]+h[{c, d}]を f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}]+h[{a, c, d}]に変えたりしたい.)

このとき,例えばPretendを使うと,
Prepend[f[3, 1], 2]
によって,f[2, 3, 1]が得られることなどは知っていますが,上記のようなものに対して,どのようにすればよいのかが,わかりません.

もしもご存じの方がおられれば,お教え頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

パターンマッチングを使うのがMathematica的です。

f[{x, y}] + g[{z, w}] /. {s_Symbol[{args__}] -> s[{a, args}]}

Qオイラーについて

レオンハルト・オイラーって、凄い数学者なんですってね。
どのくらい凄いのか教えてください。

Aベストアンサー

まずは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/レオンハルト・オイラー

業績として例えばオイラーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの等式
これは複素関数を考える上でもっとも基礎的な考えの一つ。

またゼータ関数を最初に考えた。位相幾何学のはじめ。変分法や整数論の業績。また立派な教科書を書いたので、記号法や叙述の仕方など現在に続くものも多い。
また物理や応用数学にも多大な業績があり、非粘性流体のオイラーの方程式なんてのもある。
天体物理学では多体問題の一部、を解決し、ラグランジュによるラグランジュ点(ラグランジュ・ポイント。ガンダムのコロニーとかにも関係あり)の理論につながる。

彼の全集は死後220年余りにもなるのにいまだ完結していない。

くわしくは、検索してみてください。あれもこれもオイラーとガウスからはじまったのだなあ、という気がしてしまいますから。

QMathematica f[{x, y}]を f[{x+1, y}]に変えたい

関数の f[{x, y}]+g[{z, w}]-h[{a, b, c}] という式があったときに,これらの式の f や g や h の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w}や{a, b,c})の先頭の要素に,+1をして, f[{x+1, y}]+g[{z+1, w}]-h[{a+1, b, c}] のようにしたいと考えています.
極力簡明な方法であれば有り難いと考えていますが,例えばどのような方法がありますでしょうか?お教え頂ければ大変有り難く存じます.

(追記)
以前大変親切な方に,「関数の f[{x, y}]+g[{z, w}] という式があったときに,これらの式の f や g の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w})の先頭に,a を付け加えて, f[{a, x, y}]+g[{a, z, w}] のようにするには,f[{x, y}] + g[{z, w}] /. {s_Symbol[{args__}] -> s[{a, args}]}のように記述すれば良い旨を教えて頂きました.」
今回も上記の式の類似式をいろいろと作ってみましたが,なかなか上手くいきません.
例えば,f[{2, 3}] + g[{4, 1}] - h[{2, 2, 1}] /. {s_Symbol[{args__}] -> s[Prepend[{args}, 1]]}は上手くいきますが,PrependのところをDelete(と,1])にしてみると上手くいきません.

関数の f[{x, y}]+g[{z, w}]-h[{a, b, c}] という式があったときに,これらの式の f や g や h の中に入っているリスト(今の場合は,{x, y}や{z, w}や{a, b,c})の先頭の要素に,+1をして, f[{x+1, y}]+g[{z+1, w}]-h[{a+1, b, c}] のようにしたいと考えています.
極力簡明な方法であれば有り難いと考えていますが,例えばどのような方法がありますでしょうか?お教え頂ければ大変有り難く存じます.

(追記)
以前大変親切な方に,「関数の f[{x, y}]+g[{z, w}] という式があったときに,これらの式...続きを読む

Aベストアンサー

以下のようにすれば良いでしょう。

f[{x, y}] + g[{z, w}] - h[{a, b, c}] /. {s_Symbol[{a1_, a2___}] -> s[a1 + 1, a2]}


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