x^2+y^2≦5, y≧0の範囲において、x+y

x^2+y^2≦5, y≧0の範囲において、x+yの最大値と最小値を求めよ。

この問題教えてもらえるとたすかります！

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/09/04 00:31

x^2+y^2≦5, y≧0

を満たす点(x,y)の存在領域Dは添付図の黄色の領域となります。
x+y=kとおくと
直線y=k-xが領域Dを通るようなkの範囲を求めればよい。
kは直線のy切片であり、直線の傾きは-1であるから
kが最大になるのは直線が点C(√(5/2),√(5/2))を通るときである。
x=y=√(5/2)のとき　k=x+yの最大値=2√(5/2)=√10
kが最小になるのは直線が点A(-√5,0)を通るときである。
x=-√5,y=0とき　k=x+yの最小値=-√5

直線のy切片kが「-√5≦k≦√10」の範囲の値を取る限り、
直線y=-x+kは領域Dと共有点(x,y)を持つ。

よって
（答え）最大値√10,最小値-√5

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/09/04 00:54

#2 に類似だけど y に条件があることから x+y=k とおいて y の 2次不等式にする手もある.

No.1 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/09/03 23:26

f(x, y) := x + y, g(x, y) := x^2 + y^2 - 5,

D := { (x, y) : g(x, y) ≦ 0, y ≧ 0 }
とおきます．まず連続関数fは有界閉集合D上で定義されているので最大値が(ちゃんと)あります．最大値を達する点p = (a, b)は(i)Dの内部int(D)にあるか(ii)Dの境界∂Dにあるかのいずれかです．

(i)の場合．ヘッセ行列をH = ((fxx, fxy), (fyx, fyy))とおいてみます．
fxx = fxy = fyx = fyy = 0
なので|H| = 0となり普通の方法では極大値をとるのかよくわかりません．が，今は関数fの形がとてもかんたんでpはDの内点なので，十分小さなε > 0があって
f(a, b) = a + b < a + b + ε = f(a, b + ε)
かつ(a, b + ε) ∈ Dとなるため内点pで最大値をとることはありません．

(ii)の場合．(i)の場合の議論と同様にすればp = (a, 0)のとき(a^2 < 5)は最大値をとることはありません．したがってfが最大値をとるのは点p = (a, b)がg(a, b) = 0を満たすときです．ラグランジュの未定乗数法をするために
F(x, y, L) := f(x, y) - L*g(x, y)
とおきます(Lはラグランジュ乗数)．(gx(a, b), gy(a, b)) ≠ (0, 0)なので連立方程式
Fx(a, b, λ) = Fy(a, b, λ) = FL(a, b, λ) = 0
の解から極値を取りうる点がわかります．この解は(a, b, λ) = (√5/2, √5/2, 1/√10)です．よってg(a, b) = 0を満たす点p = (a, b)で極値を取りうるものは(√5/2, √5/2)しかないので，ここで最大値f(√5/2, √5/2) = √5をとります．

最小値に場合も似たようにすればできるはずなので，そちらは任せます．この手の問題に必要な知識はたとえば参考URLをご覧ください．

参考URL：http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf