帰無仮説 統計 p値

コインを5回続けて投げて5回とも表がでるとする。
このコインは偏っているといえるか？

通常偏っていると考えて 偏っていない という帰無仮説をたてて、0,5の5乗で約3パーセント
P<0.05となっているため仮説は棄却
コインは偏っている。

r=0.90 (P<0.001)
相関係数は0.90と計算された。相関がないのに偶然r=0.90 となる確率は0.001以下
のようにp値を理解しています。
コインと同様にAとBは相関がないという帰無仮説をたて、計算し偶然r=0.90 になるのは P<0.001という結論を出し、
これだけ確率が低いのだからAとBは相関がないを棄却し、相関係数は0.90は偶然ではない ということでしょうか？

偏っていないのに偶然5回とも表になる確率は5パーセント以下（3パーセント）だから偏っていない という帰無仮説を棄却し
コインは偏っているという結論ですが、P<0.05という決まりがありこれ以下なら帰無仮説は棄却できるということですか？
通常偏っていなと考えて 偏っている という帰無仮説をたててしまったらどうなるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2013/09/25 02:06

　検定ってのは、こういうことです：

(1) 帰無仮説を立てる。（このとき、「通常どう考えるか」なんてことはまるで関係ありません。）
(2) 帰無仮説に基づいて確率論を使い、何らかの統計量に関する定量的な予言を導く。
(3) 実測値を使ってその統計量を計算する。さらに、その結果と予言とのずれが偶然に生じる確率pを計算する。
(4) もしその確率pが小さければ、帰無仮説を棄却し、すなわち帰無仮説の否定（これを「対立仮説」という用語で呼ぶという、変な習慣がありますが）を結論とする。また、もしその確率pが大きければ、帰無仮説は無に帰し、すなわち何も言えない。

　なので、帰無仮説ってものは、
(A) それに基づいて「何らかの統計量に関する定量的な予言を確率論で導く」ことができ、さらに、
(B) 実測値から算出した「結果と予言とのずれが偶然に生じる確率pを計算」できるものであること、
という条件が付きます。
　この条件を満たさない仮説は、帰無仮説として使い物になりません。だから、

> 偏っている という帰無仮説をたててしまったら

「偏っている」というだけでは定量的な予言が何も導けず、当然、(2)から先に進めない。なのでそれは帰無仮説にはならないんです。

　別の見方をしてみましょう。
　そもそも、高々有限回しか行えない実測に基づいて、「このコインには偏りがない」つまり、「表が出る確率は正確に0.5である。0.5以外のどんな数値でもない。もちろん0.500000001でもないし、0.49999999でもない」ということが証明できると思いますか？ そんな筈ない。だから、「偏っている」という仮説を立てたって、そんなもんどうしようもないんです。

この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2013/10/06 14:17

No.1 回答者： quaestio 回答日時： 2013/09/24 21:55

以前の質問の回答でもあったと思いますが、まずは統計学の入門書で勉強してください。

それが一番と思います。


> 通常偏っていると考えて 偏っていない という帰無仮説をたてて、0,5の5乗で約3パーセント
> P<0.05となっているため仮説は棄却
> コインは偏っている。

通常偏っていると考えるというのがちょっと変です。
統計的仮説検定は、帰無仮説（そうであってほしくない仮説）と対立仮説（こうであって欲しい仮説）を立てて、もし帰無仮説が正しければ、まず滅多にでないような結果が得られた時に「こんな結果が得られたのは、帰無仮説が間違いで対立仮説が正しいからに違いない」と結論付ける方法です。
だから通常偏っていると考えているわけではありません。

また、例の場合ですとコインが偏っているか否かなので、帰無仮説は「コインの表の出る確率は1/2に等しい」、対立仮説は「コインの表のでる確率は1/2に等しくない」となりますので、帰無仮説が正しいときに滅多にでない場合は、表が投げた回数の半分よりとても多く表が出た場合か、とても少なく出た場合かの二つになります。
ですので、全て表の他にも全て裏というのも考えないといけません。
（帰無仮説が正しい場合にはどちらも同じ確率で得られます）
例の場合ですと
2*(1/2)^5 = 1/16 > 0.05
なので帰無仮説は棄却できません。


> r=0.90 (P<0.001)
> 相関係数は0.90と計算された。相関がないのに偶然r=0.90 となる確率は0.001以下

これも、帰無仮説が正しい場合には滅多に出ない場合はrが±1に近いものもそうなのでこれも含まないといけません。
つまり、r^2≧0.90^2となる確率が0.001より小さくないと帰無仮説は棄却できません。


さて、質問の最後の

> 通常偏っていなと考えて 偏っている という帰無仮説をたててしまったらどうなるのでしょうか？

ですが、そうしてしまうとあまりうれしくない状況になります。
実際に、

帰無仮説：コインの表の出る確率pは1/2に等しくない
対立仮説：p = 1/2

とした検定方法を考えてみましょう。


まずは、代表例としてp = 1/3, 2/3のとき表のでる回数の分布を調べてみます。

表の出る回数　 p = 1/3　　　p = 2/3
　　０　　　　　 2^5/3^5　　　　1/3^5
　　１　　　　5×2^4/3^5　　 5×2/3^5
　　２　　　 10×2^3/3^5　10×2^2/3^5
　　３　　　 10×2^2/3^5　10×2^3/3^5
　　４　　　　　5×2/3^5　 5×2^4/3^5
　　５　　　　　　 1/3^5　　　2^5/3^5

となります。
p = 1/3のとき表の出る回数が多い方が、p = 2/3のとき表の出る回数の少ない方が滅多に出ない場合ですが、そうなったときに表の出る確率は1/2であるとは結論付けるものおかしいので、ここは表の出る回数が半分程度であったらそう結論付けるべきでしょう。
とりあえず、ここでは表の出る回数が2回と3回のときに帰無仮説を棄却するとします。


次に、表の出る回数が2回又は3回となる確率を求めます。

5C2×p^2×(1-p)^3 + 5C3×p^3×(1-p)^2 = 10(p^2)(1-p)^2
（添付図参照）

となりますが、これは何を意味しているかというと、帰無仮説が正しい場合には第一種の過誤を犯す確率(Type I Error)を、対立仮説が正しいときは検出力を表します。
この式から、帰無仮説が正しい場合上限5/8の確率で第一種の過誤を犯し、対立仮説が正しい場合は5/8で検出できることが分かります。
つまり、この検定方法は有意水準5/8以上に設定しないといけない検定方法となります。
検出力は良いとしても、Type I Errorが5/8では使えません。
これなら表の出る確率が1/2に近いと思われるなら感で当てた方がマシです。

問題はこれだけではありません。
Type I Errorを減らすには、試行回数をもっと増やせば良いのですが、上の例でも気づかれたかもしれませんが、
Type I Error = 検出力
となるため、Type I Errorを減らしたら、検出力が下がってしまうのです。


以上のことから

帰無仮説：コインの表の出る確率pは1/2に等しくない
対立仮説：p = 1/2

とするのは、うまくない方法と言えるのです。
通常の

帰無仮説：p = 1/2
対立仮説：p ≠ 1/2

という検定方法なら、試行回数を増やせば増やしたなりに、Type I Errorを一定に抑えながら検出力を増やすことができます。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2013/10/20 14:56