頭がこんがらがっているのですが、次の質問回答ください。

(質問)平均重さ120gの部品ををユーザーに収めるに際し、変動係数2%以内の管理をするようにと言われています。ところが事情があって一個ずつの重さを計ることができず、たとえば10個とか、100個の重さを計ることしかできないとすれば、その場合の変動係数はいくらとすればよいでしょうか。

測定点数にもよると思いますが、まとめて計ると変動係数を厳しく見なければならないような気がしますが。

わかりやすく教えていただければありがたいです。

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A 回答 (2件)

120gの2%とすると,2.4gですね.


yumitaka さんも直感的に感じておられるようですが,
100個まとめて12kgにして240gの変動までOKでは具合が悪いです.
個数が多くなると変動の正負がうち消す割合が大きくなりますから,
変動係数を厳しく見ないといけません.

簡単にばらつきが正規分布として,
平均値をm(=120g),標準偏差をσとしますと
m± σ に全体の 68.27%
m±2σ に全体の 95.45%
m±3σ に全体の 99.73%
m±4σ に全体の 99.99%
が入ります.
99.73% でOKなら 3σ=12g にすればよいわけです.
変動係数は 3σ/m= 2% ですね.

さて,同じ正規分布をもつものをN個持ってきて(各分布は独立)全体の分布を見ると,
平均値は当然 Nmですが,標準偏差の方は (√N)σ になることが知られています.
つまり,10個持ってくれば (√10)σ,100個なら 10σ,
ということです.
したがって,変動係数は
10個なら 3(√10)σ/10m = 0.632%
100個なら 3√(100)σ/100m = 0.2%
N個なら 3σ/√N = 2/√N (%)
です.
経過から分かりますように,3σでOKにするのか,4σを要求するのか,
といったことには結果は関係ありません.

ガウス分布でないと多少違いが出ますが,目安はこれでOKでしょう.
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 sigmuntさんは母集団の品質を管理するという観点で


かかれていると思いますので、
私はn個の平均値から母集団の平均値からある程度ずれてしまったロットは落として、
出荷するものの集団の品質がある変動範囲にすべて収まっている確率が
ある値Qで保証されるための条件という観点から考えて見ました。
(というか変動係数というのがなんなのかとわかっていないので
 適当に考えてみました)
母集団の平均値をあらかじめ調べておいて、
n個のロットの平均値の振るまいは母集団に偏差がσの正規分布fσを仮定すると
偏差がσ/n^(1/2)となる正規分布fσ/n^(1/2)となります。
いま、一個一個測っていくとすると合格品の割合は平均値m、許容値qとすると
 P =∫fσ(x)dx (x=m-q~m+qの範囲で積分)
n個ずつのロットに分けて選別したとしても正しい選別が行われているのであれば
n個ずつのロットが検査を通過する確率もP以下でなければなりません
(でなければ選別の仕方で良品の数が増えてしまうことになります)。
n個の平均値は母集団の平均値に近いものほどまともなものを
含んでいる確率が高いと考えられるので、平均値の周りで積分して
 P =∫fσ/n^(1/2)(x)dx (x=m-?~m+?の範囲で積分)
となる「?」よりも厳しい基準でなくてはならないという考え方です。
また別の考えとしては、これをもう少し変形して、
良品がn個連続しなくてはならないので
 P^n = ∫fσ/n^(1/2)(x)dx (x=m-?'~m+?'の範囲で積分)
となる「?'」が求める範囲かなという気もしてきます。
(つまり、不合格率を上手く調整すれば、大体、
 全部調べたときと同じ確率で合格/不合格が決まるのだから、
 n個の平均値を指標に決めるときにも結局同じような
 合格率を与える範囲を設定してやれば良い基準になるのでは?ということです。)
 このとき、n個すべてが良品である確率をもとめれば大体いいせん行っていると思うのですが。

でも、素朴に
 F(μ) = ∫...∫p(x1) ...p(x1) δ(μ-(x1+...+xn)/n) dx1...dxn
(xj =m-q~m+qの範囲で積分 (j=1~n)、pは母集団の確率分布、δはδ関数)
というのを考えて、この確率が品質を保証する確率Qよりも大きくなるようなμが
求める平均値の範囲というのが私の求める正解なのでしょう。
 非常によい製品の母集団であれば、pは十分に急峻ですので、
積分範囲を全域にとっても良い近似となり、さらにガウシアンを仮定すれば
 F(μ) = fσ/n^(1/2)(μ)
となります。したがって、この場合には、
 Q < F(μ)
となるμが求めるものになるといったところでしょうか?

前半の考え方のほうがなんか気に入っているんですが
(当然、本来不良ロットとすべきものをカウントしたり、しなかったりしています)、
下のQに相当するものが出てこないし、多分変な考え方なのだと思います。
アドバイスになっていないですね。ごめんなさい!
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Q統計の変動係数について

あるn個のデータがあります。その標準偏差s(a)と、変動係数CV(a)を求めます。
次に、n個のデータすべてに10を足し、足された後のデータの標準偏差s(b)と、
変動係数CV(b)を求めたとします。

この場合、標準偏差の値は、s(a)=s(b)となりますよね。
でも、変動係数はCV(a)>CV(b)となると思います。

「変動係数は平均値などが異なっている場合に、ばらつきを比べられるようにしたもの」
という参考書の説明でした。
でも、上の条件でのばらつきは”感覚的に”同じだと思えてしまうのですが、係数としては差が出ます。

どのように考えれば良いのでしょうか。

Aベストアンサー

「標準偏差」は絶対的なもので、グラフを平行移動しても変わりません。グラフの形は変わりません。
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統計の初心者です。
例えば、次のような場合

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から変動係数を算出

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→4%(指導後の7日間)、
被験者B 変動係数 8%→6%
被験者C、D、E、、、

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指導前と指導後の変動係数をpaired-Tで有意差検定するのは
認められるでしょうか。

統計に詳しい方、ご教示をお願いします。

Aベストアンサー

No.1&2です。

「変動」であっても、それが「同じ計測量を複数回計測したときのバラツキ(ランダム誤差)」なのか、血圧の「最大値、最小値の幅」とか「血圧の24時間の変動範囲」というようなそれ自体に「意味のある値」なのかによって、取り扱いが変わるでしょう、というのがNo.1&2の趣旨です。

 No.2に書かれた「大の幅(一番高い日と低い日の差)で評価する方法」というのも、「一番高い日と低い日の差」という量が、その裏にあるメカニズム・要因を的確に表すパラメータであれば、その変化を評価する意味はあると思います。
 ただ、そこに示された例では、
  患者A (10mmHg (指導前の7日間では最大の日100mmHg、最低の日 90mmHg)
  →指導後8mmHg (最大の日98mmHg, 最低の日 90mmHg)
は、そもそもの計測値が
  指導前の7日間では最大の日 100mmHg ± 10mmHg
           最低の日 90mmHg ± 9mmHg
  指導後の最大の日98mmHg ± 9.8mmHg
      最低の日 90mmHg ± 9mmHg
という誤差を持っているのであれば、指導前後に「差がある」とは言えないでしょう。「誤差範囲内」ですから。

 これが、例えば「変動幅」というパラメータに着目して、
  指導前の変動幅:10mmHg ± 1mmHg
  指導後の変動幅:8mmHg ± 0.8mmHg
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どなたか教えてください。

Aベストアンサー

#1です。

> 不適当であると書かれています。

それは使い方によります。例えば非対称な分布で平均±SDのような書き方をしてもたいして意味を成さないのは明らかですし、先の回答にも書きましたが正規分布に従っているとは言えないような分布で平均±SDの範囲に約68%のデータが存在するような意味で用いれば、それは明らかに誤りです。要は正規分布を仮定した場合に成り立つことを仮定できない場合に適用するのが不適当なのです。

また、裾の重い分布で極端に大きいまたは小さい値が出やすい場合には、平均値やSDは中央値や四分位偏差に比べてその影響を受けやすくなりますがが、それが正常なデータ(つまり測定ミスとか記録ミス、他のデータと異質である等の理由で外れ値とはみなせない)である限り平均が位置の指標、SDがばらつきの指標としての意味を持つことに変わりはありません。データの数値が大きいところと小さいところで単純にそのばらつきの大きさだけを比較してよいのか?というところから出てきている変動係数も同様です。

誤解の無いように補足しておくと、これはどんな場合でも平均とSD(あるいは変動係数)だけを参照すれば済むと申している訳ではありません。必要に応じて中央値など他の指標も参照する必要はありますし、これらは何れか一つという択一的なものではなく、互いに不足している情報を補う関係のものであるとご理解ください。正規分布を仮定できないからといって平均とSD(あるいは変動係数)が使えなくなる訳ではないということです。

#1です。

> 不適当であると書かれています。

それは使い方によります。例えば非対称な分布で平均±SDのような書き方をしてもたいして意味を成さないのは明らかですし、先の回答にも書きましたが正規分布に従っているとは言えないような分布で平均±SDの範囲に約68%のデータが存在するような意味で用いれば、それは明らかに誤りです。要は正規分布を仮定した場合に成り立つことを仮定できない場合に適用するのが不適当なのです。

また、裾の重い分布で極端に大きいまたは小さい値が出やすい場合には、平均値...続きを読む

Q赤球2個、黄球1個、白球3個の計6個の球が

袋に入っている
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ただし、一度取り出した球は袋に戻さない
このとき、取り出す球の中に赤球が0個、1個、2個含まれてる確率をそれぞれ求めよ


答えを途中経過込みで教えてください

Aベストアンサー

赤球が0個の場合は、黄、白黄、白白黄、白白白黄の4通り。
それぞれの確率を足す。
(1/6)+(3/6)(1/5)+(3/6)(2/5)(1/4)
+(3/6)(2/5)(1/4)(1/3)=1/3・・・答え

赤球が1個の場合は赤黄、赤白1黄、赤白2黄、赤白3黄の場合。
赤黄の確率は(2/6)(1/5)
赤白1黄の確率は(2/6)(3/5)(1/4)*2
赤白2黄の確率は(2/6)(3/5)(2/4)(1/3)*3
赤白3黄の確率は(2/6)(3/5)(2/4)(1/3)(1/2)*4
以上を合計して、1/3・・・答え

赤球が2個含まれてる確率は、赤球が0個と1個の確率を
1から引いて1-(1/3)-(1/3)=1/3・・・答え

Q回収率と変動係数について

ご拝読ありがとうございます。
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ある物質の回収実験で、一方の実験系では回収率が56%で変動係数は13%となり、もう一方は回収率が62%で変動係数が18%となりました。
どちらの実験系が適当であると考えられますでしょうか。理由とともに教えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

変動係数が回収した分の統計値とするならば、
一般的には後者の方が信頼性が高いと言えます。
理由は、後者の方がサンプル数が多い(と見られる)から、です。

Q白と黒の玉がそれぞれ2個、あと黄色と青と赤の玉がそれぞれ1個の計7個の

白と黒の玉がそれぞれ2個、あと黄色と青と赤の玉がそれぞれ1個の計7個のボールがある。
これらを1列にに並べる場合を考える
白→黒 又は、黒→白の並び方が少なくとも1つ含まれる順列の総数はいくつになりますか??

Aベストアンサー

>白→黒 又は、黒→白の並び方が少なくとも1つ含まれる

これは、白と黒が隣り合っているということですね。


黒を除いた5個の順列の数は、
5!/2!=60
そのうち、白2個が隣り合っている場合の数は、白2個を1つと考えれば、
4!=24
なので、白2個が隣り合っていない場合の数は、
60-24=36

この5個の並びに黒2個を挿入して、白と黒が隣り合わないようにする順列の数を計算すると、

白2個が隣り合っている場合は、黒2個を入れられる場所は3箇所あるので、
3H2=4C2=6
白2個が隣り合っていない場合は、黒2個を入れられる場所は2箇所なので、
2H2=3C2=3

以上から、白と黒が隣り合わない順列の数は、
24*6+36*3=252

順列の総数は、7!/(2!2!)=1260なので、
白と黒が隣り合う順列の数は、
1260-252=1008

Q統計。変動係数とは何ですか?

変動係数が、標準偏差を算術平均で割ったものであるということはわかりましたが、なぜ変動係数を出すことで、ばらつきの相対的な比較が可能になるのか、いまいちピンときません。
単位の異なる標準偏差の値を比較することがナンセンスなのはわかりますが、それらを算術平均で割ったら比較可能になる理由を、わかりやすく教えていただけませんでしょうか。

Aベストアンサー

東京と八丈島で、どちらが老人が多いか、という問いで、

 単純に老人の数を数えれば、東京が多い。すなちわ、イメージと離れている。
 実感に近づけるには、老人の人口を地域の人口で割った老人人口割合で比較すれば、八丈島が高い。
 老人人口が標準偏差、人口が平均値、老人人口割合が変動係数、に相当します。

Qx^n-1とx^n+1の因数分解(複素数係数、実数係数、有理数係数、整数係数)

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において、その方法や結果や性質が載っているサイトがあれば教えていただけないでしょうか?

初歩的なことは知っています。

Aベストアンサー

とことん因数分解すれば結局、

x^n - 1 = Π[k=0,n-1]{x-cos(2kπ/n)-i*sin(2kπ/n)}
x^n + 1 = Π[k=0,n-1]{x-cos((2k+1)π/n)-i*sin((2k+1)π/n)}

となりますよね。これが整数か、有理数か、無理数かは三角関数の
性質を調べたほうがいいのでは?


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