【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

放物線と異なる2点で交わる直線で囲まれた領域の重心の座標って何処ですか?

放物線の方程式はなんでもいいのですが…
一応y=a(x-b)^2 +c 、y=mx+nとしておきます

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A 回答 (3件)

とりあえず、曲線で囲まれた図形の「重心」の定義を。


計算の前に、定義が必要ですからね。
平面上の領域 S に含まれる位置ベクトルを p として、
図形 A の重心とは、∫[p∈A] p dp / ∫[p∈A] dp
のことです。分母の積分は、A の面積を表します。
この定義は、A が三角形の場合に、中学の幾何で習った
重心の定義に一致します。

さて、質問のように A が s≦x≦t, f(x)≦y≦g(x) で
表される場合には、∫[p∈A] (なんたら) dp は
∫[s≦x≦t] ∫[f(x)≦x≦g(x)] (なんたら) dy dx と
書けますから、上記の重心の定義は、
∫[p∈A] p dp / ∫[p∈A] dp
= ∫[s≦x≦t] ∫[f(x)≦x≦g(x)] (x,y) dy dx / ∫[s≦x≦t] ∫[f(x)≦x≦g(x)] dy dx
= (X, Y),
X = ∫[s≦x≦t] x{g(x)-f(x)} dx / ∫[s≦x≦t] g(x)-f(x) dx,
Y = ∫[s≦x≦t] (1/2){g(x)^2-f(x)^2} dx / ∫[s≦x≦t] g(x)-f(x) dx
と表せます。

f(x) = mx+n, g(x) = a(x-b)^2+c,
f(x) = g(x) の解が x = s, t の場合にも、
上記に従って計算すればよいです。
小技としては、s, t を求めたり代入したりするのが
煩わしいので、s, t を式に残して積分し、
解と係数の関係を使って後で s, t を消去する
方向になるでしょうか。(そこが本論ではありませんが。)
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この回答へのお礼

計算の工夫の仕方まで書いてくださって
ありがとうございます。

お礼日時:2013/10/20 06:14

答えがあったら確認してください。



面の重心は一定の方向で面を短冊に切って行って各短冊の中心をつなぐ曲線C1を求め、

次に異なった方向から同様の作業を行い、得られた短冊の中心の曲線をC2とすると、

C1とC2の交点としてもとめられます。

C1としてはy軸に平行に切った短冊を考えるとその中心の曲線は

y=[a(x-b)^2 +c+mx+n]/2   (1)

C2として、y=mx+nに平行に切った短冊を考えるとその中心は

a(x-b)^2 +c=mx+n

の解の平均となり

ax^2-(2ab+m)x+ab^2+c-n=0

から

x=(2ab+m)/a/2=b+m/2a    (2)

これはnが入っていないので、y=mx+nのnを変化させて短冊を切り中心を求めると

nによらないことを示しています。

(2)を(1)に代入して

y=[3m^2/(4a)+mb+c+n]/2 (3)

(2)、(3)が答えです。
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この回答へのお礼

すみません
答えはないんです…

重心の位置は短冊の中心と一致するって
知りませんでした

ありがとうございます

お礼日時:2013/10/20 06:16

平行移動した


y=ax^2

y=m'x+n'
で考えたらどうですか?

2つの交点の座標をα,β(α<β)とすると
放物線と直線で囲まれた領域の面積Sは
S=∫[α,β]|ax^2-m'x-n'|dx
=|a|(β-α)^3
となります。(参考URL参照)
重心の座標をG(gx,gy)とし、領域内の点を(x,y)とすると
gx=∫[α,β] x|ax^2-m'x-n'|dx/S
gy=∫[α,β] y|ax^2-m'x-n'|dx/S
で計算できます。

計算はご自分でどうぞ!?

参考URL:http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/20070 …
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この回答へのお礼

そのまま計算をすると煩雑になってしまうので…
平行移はいいアイディアですね!

ありがとうございます

お礼日時:2013/10/20 06:05

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Q2つの曲線に囲まれた領域の重心の求め方

直線 y=x-2と放物線y=x^2で囲まれた領域Dがある。
(1) Dの面積を求めよ。
(2) Dの重心を求めよ。

という問題です。

問(1)は非常に簡単で積分すればよくて、答えは9/2ですが、
問(2)はどうやって解けばいいですか。

分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いします。

Aベストアンサー

No.1です。

>問題文はy = x+2でした。
推察した通りの問題ミスでしたね。
これなら囲まれる領域Dが存在します。

訂正後の問題であれば
過去の同じ質問があり、回答済みです(私の回答がベストアンサーでした)。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6124767.html
参考にしてください。

>実は囲まれた領域の求め方がわからないです。
>できればなぜそういう風に解くのかの考え方も
>教えていただければありがたいです。

2本の曲線(直線を含む)で囲まれた領域は
y=x+2 ...(A)
y=x^2 ...(B)
のグラフを描けば囲まれた領域Dはグラフ的に見れは明らかです。
領域Dは添付図の水色の領域になります。
 D={(x,y)|x^2≦y≦x+2} 
 y=x+2のグラフより下で,かつy=x^2のグラフより上の領域です。
これは次のようにも書けます。
 D={(x,y)|-1≦x≦2,x^2≦y≦x+2}
この表し方のほうが重積分を累次積分(逐次積分)に直した際の積分範囲としてはわかりやすいでしょう。
 D={(x,y)|y≧x^2(0≦y≦1) or 1<y≦x+2(1<y≦4)}
と表すこともできます。添付図の領域Dと見比べて理解するようにしてください。

問(1)
領域Dの面積Mは
 M=∫{D] dxdy=∫[-1→2]((x+2)-x^2)dx
  =[(1/2)x^2+2x-(1/3)x^3][-1→2]=(3/2)+6-3=9/2
ですね。

問(2)
領域Dの重心をG(xg,yg)とおくと
重心の定義式から
 xg=(1/M)∫[D]xdxdy
  =(2/9)∫[x:-1→2]{∫[y:x^2→x+2] xdy}dx
  =(2/9)∫[-1→2] x(x+2-x^2)dx
  =(2/9)[(1/3)x^3+x^2-(1/4)x^4][-1→2]
  =(2/9){3+3-(15/4)}=1/2
 yg=(1/M)∫{D]ydxdy
  =(2/9)∫[x:-1→2]{∫[y:x^2→x+2] ydy}dx
  =(2/9)∫[x:-1→2]{[(1/2)y^2][y:x^2→x+2]}dx
  =(1/9)∫[x:-1→2]{(x+2)^2-x^4}dx
  =(1/9)[(1/3)(x+2)^3-(1/5)x^5][x:-1→2]
  =8/5
となります。

No.1です。

>問題文はy = x+2でした。
推察した通りの問題ミスでしたね。
これなら囲まれる領域Dが存在します。

訂正後の問題であれば
過去の同じ質問があり、回答済みです(私の回答がベストアンサーでした)。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6124767.html
参考にしてください。

>実は囲まれた領域の求め方がわからないです。
>できればなぜそういう風に解くのかの考え方も
>教えていただければありがたいです。

2本の曲線(直線を含む)で囲まれた領域は
y=x+2 ...(A)
y=x^2 ...(B)
のグラフを描けば囲まれ...続きを読む

Qいびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教

いびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教えていただけると助かります。大学では微分積分は勉強しました。
問題
直線Y=X+2と放物線Y=x^2で囲まれた領域Dの重心を求めよ。

Aベストアンサー

平面図形の重心は(1次モーメント)/(質量)で定義されます。
(質量)は密度が1の場合は(面積)になります
重心の座標をG(xg,yg)とする。
直線と放物線の交点は2つの方程式を解いて求めるとA(-1,1)とB(2,4)となることから
領域の面積S=∫[-1,2] (X+2-X^2)dX
重心の座標は
xg=∫[-1,2](X+2-X^2)XdX/S
yg={∫[1,4](√Y-(Y-2))YdY+∫[0,1](2√Y)YdY}/S
で求まります。

積分は単純な積分ですから積分は自力で出来ると思いますのでやってみて下さい。

Q2重積分による重心を求める問題について

曲線√x+√y=1とx軸、y軸とで囲まれる図形の重心の座標を求めよ。
(ちなみに答えは(1/5,1/5)です)

という問題の解き方が分からなくて困っています。いくつか例題のようなものを解いたんですがよく分からなかったです。

実はとても急いでいるんで理解とかなによりも解き方を教えてくださると助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

>領域D=∬dxdyとして求めて
これが分かっていないのだね。
D:{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦{1-x^(1/2)}^2}だよ。
Dが把握できれば積分範囲がわかるだろう。
>xg=∬xdxdy/D
xg=Mx/S
S=∫[x:0,1] {∫[y:0,{1-x^(1/2)}^2] dy
=∫[0,1](1-2x^(1/2)+x)] dx=?  ←この積分できるだろうね。
同様に
Mx=∫[x:0,1] x*{∫[y:0,{1-x^(1/2)}^2] dy
=∫[0,1] (x-2x^(3/2)+x^2)] dx=?  ←この積分できるだろうね。
xg=Mx/Sに上で求めたMx,Sを代入すればxg=1/5 が出てくるよ。

>yg=∬ydxdy/D
yg=My/S, My=∬ydxdy, S=∬dxdy
にxgを求めた式にxをyで置き換えればまったく同じ計算で出てくるね。
Sは単なる面積だから上のSをそのまま使って構わないね。

グラフがy=xに対称だから当たり前だけど
xg=ygとなるね。

#1です。

>領域D=∬dxdyとして求めて
これが分かっていないのだね。
D:{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦{1-x^(1/2)}^2}だよ。
Dが把握できれば積分範囲がわかるだろう。
>xg=∬xdxdy/D
xg=Mx/S
S=∫[x:0,1] {∫[y:0,{1-x^(1/2)}^2] dy
=∫[0,1](1-2x^(1/2)+x)] dx=?  ←この積分できるだろうね。
同様に
Mx=∫[x:0,1] x*{∫[y:0,{1-x^(1/2)}^2] dy
=∫[0,1] (x-2x^(3/2)+x^2)] dx=?  ←この積分できるだろうね。
xg=Mx/Sに上で求めたMx,Sを代入すればxg=1/5 が出てくるよ。

>yg=∬ydxdy/D
yg=My/S, My=∬ydxdy, S=...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

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よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

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