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自然数から、整数、有理数、実数ときて複素数へと拡張された、と講義で聞いたのですが、

実際にどのような手順を踏んで拡張されたのでしょうか?

また、それぞれどのような拡張すべき理由があったのでしょうか?

どなたかご存知の方がいらっしゃいましたら、回答お願いいたします。

A 回答 (6件)

負の数は負債とか貸し借りとかの概念から始まり、


9世紀ごろまでには世界に広まっていたらしいです。

でも数学者は17世紀まで負の数を頑固に認めなかったそうですね。
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歴史的には、


自然数 → 正の有理数 → 正の実数 → 負の実数を含む複素数
の順番だったと思う。 その辺の経緯は、↓とかに書いてある。
「負の数学」 http://www.amazon.co.jp/%E8%B2%A0%E3%81%AE%E6%95 …
足し算や引き算をするぶんには、正数と負数は対称だが、
(-1)×(-1)=(+1) という非対称性はナカナカ受け入れられず、
i×i=(-1) となる i が考えられて初めて、(-1) が、単なる
計算上の便宜ではなく、普通の数と考えられるようになった。
正の有理数 → 正の実数 がピタゴラスの時代の話で、
正の実数 → 負の実数および複素数 がカルダノよりも後の時代
であることを思うと、負数の受容には、随分と時間がかかった
ことになる。西洋ではね。

現代日本では、なぜだか
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数
という順番が信じられていて、もっぱら 実数 → 複素数 の所で
「虚数は実在するのか?」という話題になる訳だが、
算数の教程を振り返ってみると、実は、歴史どおりに
自然数 → 正の分数 → 正の小数 → 負数を含む有理数と実数
の順番で教わっているのだった。そうだよね?

日本人が正負の実数に特に抵抗感がないのは、寺子屋以来の
読み書き算盤教育を通じて、四則計算に親しい文化が育っている
からだと、勝手に思っている。四則計算は、有理数の世界だから。
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ちょっと思い出した.



実数の範囲で方程式を考えると, 2次方程式では「複素数」なんて無視してもかまわない. でも, 3次方程式ではどうしても考えなきゃならない事情が存在する. つまり, 「係数は実数だし解も全て実数なんだけど, 途中で『複素数』を考えないと解くことができない」という状況が発生する. このあたりが, 「複素数」というものを (計算の道具として) 使うようになった理由.

とはいえ, この時点では「便宜上の道具」であって, 「複素数」が数学的な対象になるのはもっとあとの話.


って, なんか前にも書いたような気がする....
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複素数は 3次方程式を解くときに「便利」だから, だったかな.

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 自然数は既知とします。

自然数に0を含めるかどうかは、ちょっと議論がありますが、ここでは含めます。

 自然数の中では、常に足し算と掛け算ができた。しかし引き算と割り算は常に実行可能でなかった。

 常に引き算が実行可能なように、負数を導入し、整数を作った。

 整数の中では、常に足し算と掛け算と引き算ができたが、割り算は常に実行可能でなかった。

 常に割り算も実行可能なように、分数を考え、有理数を作った。

 有理数まで来た時、実数の存在はけっこう暗黙に認められていました。そのような状況下で、複素数は開発されます。

 実数の正式な定式化は、複素数よりちょっと遅いです。

 そして実数の開発は、自然数→整数→有理数→複素数の拡張の流れとは、かなり毛色が違います。自然数→整数→有理数→複素数は、代数的な拡張です。

 n次方程式が常に解を持つことが可能なように、複素数を作った。もちろんきっかけは、2次方程式だった。


 √2が有理数でない事は、じつはピタゴラスの時代から知られていました。有理数全体と√2などの無理数全体も含む実数が年代的には最後に、正式定義されます。「暗黙に存在すると思えるし、思うだけで」、けっこう十分だったので・・・(^^;)。

 任意の有理コーシー列が収束するように、実数を構成した。これは解析的拡張です。

 そしていったん実数を定義してしまえば、それまで厳密には有理数a,bを用いてa+b・iと表していた複素数を(iは虚数単位)、実数のa,bを用いてa+b・iと表す事には、何の不都合もなかった。


 こんなところでしょうか?。(^^;)
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自然数→整数


 自然数の世界で足し算、掛け算は自由にできたが、引き算で困った。たまに答えが出ない。3-5とか。
 いつでも引き算ができるように拡張。
 具体的には、自然数の順序対(m,n)に
 (m1,n1)+(m2,n2)=(m1+m2,n1+n2)
(m1,n1)*(m2,n2)=(m1m2+n1n2,m1n2+m2n1) で定義すると、加法の逆元がいつでも存在するようになった。


整数→有理数
 整数の世界で足し算、掛け算、引き算は自由にできたが、割り算で困った。たまに答えが出ない。2/3とか。
 いつでも割り算が出来るように拡張。
 具体的には、整数の順序対(i,j)に
 (i1,j1)+(i2,j2)=(i1j2+i2j1,j1,j2)
(i1,j1)*(i2,j2)=(i1i2,j1j2) で定義すると、乗法の逆元が零元(0,j)を除きがいつでも存在するようになった。

有理数→実数
 有理数の数列のうち、有界で単調増加な数列で、極限が存在しないものがあった。
 An=(1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・・+1/n!) とか。
 いつでも極限が存在するように拡張。
 具体的には、有理数の集合を上半分(?)と下半分(?)に分割する「切断」なるものを設定し、その「切断」について加法と乗法を定義する。
 書くのは超面倒なので、「有理数の切断」でググってください。
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Q超複素数から更に拡張された数は?

数の拡張について知りたく思っております。

自然数に負数の概念を加えると整数

整数に分数の概念を加えると有理数

有理数に無理数の概念を加えると実数

実数に純虚数の概念を加えると複素数

複素数に二重数・双対数・4元数の概念を加えると超複素数

でここから先にも数は拡張されているのでしょうか?

Aベストアンサー

「八元数」なるものが存在します。
そして、矛盾のない数体系は実数、複素数、4元数、8元数だけだそうです。
しかし、
4元数:掛け算の交換法則が成り立たない
8元数:掛け算の結合法則が成り立たない
ので、#1さんのおっしゃるとおり数として扱うのは稀です。
但し、4元数は3次元・4次元の空間に、
8元数は7次元・8次元の空間に
対応させられるということで、
これらの空間の性質を理解するうえで便利、ということはあります。

Q数学における数の拡張について

数学の課外読物を読む度に以前から考えていたことなのですが、
数学ではギリシャ時代から21世紀の今日に至るまで数の拡張が順次行われ、
その結果、数は
 自然数-->整数-->有理数-->実数-->複素数-->n次行列と拡張されたと
 あります。
さて質問ですが、数の拡張はこれで最終ステージを迎えたのでしょうか。
これ以上の拡張は有り得ないという結論なのでしょうか?
それとも、後300年程して現在の数の概念を覆すような新たな数体系が出現
する可能性はあるのでしょうか。またその可能性を考えるのは数学の問題なのでしょうか?
あと一つ、最後のn次行列ですがこれは1つの数といえるのでしょうか。

Aベストアンサー

現代数学では、直接数の体系を拡張してばかりの段階を超えて、その体系自体の性質を考察するところに進んでいることも知っていてよいだろう。

例えば、「群」というものがある。詳しくは説明しないが、「数」というものを名乗りたければ必要となる性質の一つと思って頂いてよい。
例を挙げると、整数は、それ同士を足したり引いたりしても、また整数になる。このことを、「整数は加法(足し算)について群を成している」という。
同様にして、「0でない有理数全体は乗法(掛け算)について群を成している」と言える。
同様に「環」や「体」というものもある。これらは、数が数であるための条件のようなものであるが、これから逆に、「群」「環」「体」(そしてそこから生まれる「非可換群」とか「リー環」というものもある)をきちんと定義し、そこから逆に「どのように数を拡張できるのか」を考えることができる。
これが、現代の代数学で研究されていることである。
さらには、こうした体系自体を一まとめにして研究する向きもあるとか…(ここまで来ると専門的過ぎて、普通の数学者では良くても耳学問程度にしか知らないだろう)。

>後300年程して現在の数の概念を覆すような新たな数体系が出現
する可能性はあるのでしょうか。
ここまで知っていれば、私としては、「そんなことよりずっと進んだ、今からでは予想もつかないような概念」が現れているような気がしてくる。
それも、300年と言わず、今世紀のうちかもしれない。

現代数学では、直接数の体系を拡張してばかりの段階を超えて、その体系自体の性質を考察するところに進んでいることも知っていてよいだろう。

例えば、「群」というものがある。詳しくは説明しないが、「数」というものを名乗りたければ必要となる性質の一つと思って頂いてよい。
例を挙げると、整数は、それ同士を足したり引いたりしても、また整数になる。このことを、「整数は加法(足し算)について群を成している」という。
同様にして、「0でない有理数全体は乗法(掛け算)について群を成している」と...続きを読む

Qなぜ、負の数×負の数=正の数になるのですか?

負の数×負の数の計算結果は必ず正の数になりますが、この理由はなんなんでしょうか?証明できる方いませんか?マイナスにマイナスをかけるとプラスになるのはわかるのですが、その理由がわかりません。

Aベストアンサー

例えば(-1)×(-1)を考えると

 (-1)×(-1)=(-1)×(-1)+0

 ここで(-1)+1=0より 上記式の右辺は

 =(-1)×(-1)+(-1)+1
 分配法則A×B+C×B=(A+C)×Bより
 上記式は

 =〔(-1)+1〕×(-1)+1
 ここで(-1)+1=0なので

 =0×(-1)+1  0×(-1)=0だから
 =0+1=1

 つまり(-1)×(-1)=1となる。

 一般的には文字を使って上記のようなことをやれば証明はできます。技巧的のようもしますが。
 

  

 

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14


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