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QNo.831096で質問したxylocaineです。いまいち理解できていない部分があるので教えて下さい。

質問内容は
9つの数字から4つの数字の組み合わせと9つの数字から5つの数字の組み合わせの数は同じでしょうか?
(1,2,3,4)と(4,3,2,1)は使われている数字が同じなので1つと数えます。
数式では
9C5=126
9C4=126
これであっているのでしょうか?
なぜ同じになるのでしょうか?
でした。

新たな疑問(1)は126で同じになったのは偶然でしょうか?
例えば10C4と10C5は同じ数の組み合わせになるとか、何か同じになる法則があるのでしょうか?

新たな疑問(2)は9C4=126の組み合わせは全て9C5=126の組み合わせに含まれるのでしょうか?
例えば(1,2,3,4)は(1,2,3,4,5)に含まれますよね?
例えば(6,7,8,9)は(5,6,7,8,9)に含まれますよね?
このように全て9C4=126の組み合わせは全て9C5=126の組み合わせに含まれるのでしょうか?

解かりやすく噛み砕いて説明していただけると嬉しいです。
宜しくお願いします!

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A 回答 (6件)

(1)偶然ではありません。


9個の数字から4つを選んだときの126通りの組み合わせを、紙の左側に書き並べます。紙の右側にはそのとき選ばなかった5つの数字を書いていきます。
こうして出来上がった紙の左側には4つを選んだときの組み合わせ、右側には5つを選んだときの組み合わせすべてが書かれています。どちらも126通りです。
紙の右側に並んだ5個の数字126通りの組み合わせの中で同じものがあるならば、その左側に書いてある4つの数字も同じものになりますね。例えば、右側が(5,6,7,8,9)というものが2つあるとすると、その1つには左側に(1,2,3,4)と書いてあり、もう1つの左側には別の4つの数字が・・・。あり得ません。
紙の右側に書いていない、新しい5個の数字の組み合わせが見つかった!その組み合わせを紙の右側に書いて、その左側には残った4つの数字を書いてみた。あれ?4つの数字の組み合わせ126通りはすべて書いたはず・・・。これもあり得ません。

n>mのとき、n個の数字からm個の数字の組み合わせと、n個の数字から(n-m)個の数字の組み合わせは常に同じです。
ですから10個の数字から4個の数字を選ぶ組み合わせと、10個の数字から(10-4)個すなわち6個の数字を選ぶ組み合わせは同じです。
式で考えてもおなじになりますね。いま10個の数字から4つの数字の組み合わせの計算式は
10x9x8x7/4x3x2x1
です。10個の数字から6つの数字の組み合わせの計算式は
10x9x8x7x6x5/6x5x4x3x2x1
ですね。この式は分母・分子ともにの6x5がありますから、この部分を消去すると4つの数字の組み合わせの式と同じになります。

(2)含まれます
数字を5個選ぶ場合、4個選んだところへもう1個選ぶ訳ですから、4つの数字の組み合わせはすべて5つの数字の組み合わせに含まれます。
ところが、ある4つの数字の組み合わせだけは、その4つの数字すべてを含む5つの数字の組み合わせがないのです。ここにもう1つ数字を選んで5個にしました。これは新たな5個の数字の組み合わせです。これを紙の右側に書いて、残った4つを左側に・・・。そうです、あり得ませんね。
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9C5と9C4が同じ理由は


(1,2,3,4,5) (6,7,8,9)
と表裏一体なのです。

5と4だけが特別な訳ではなく、

9C1=9C8=9
9C2=9C7=36
9C3=9C6=84
9C4=9C5=126

の様に書けば規則性が見えて来ますね。
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(1)


9C4 と 9C5 は同じです。
9C4 は9個から4つを選ぶ選び方ですね?
9C5 は9個から5つを選ぶ選び方ですね?
どちらも、9このものを4つと5つに分けることですよね?(これが分かりにくいかも?)

たとえば、9人をA班4人とB班5人と分けたいとき、その組み合わせは?
解1) 9人のうち、A班の4人を選べばいいから、9C4を使う。(選ばれない5人は自動的にB班)
解2) 9人のうち、B班の5人を選べばいいから、9C5を使う。(選ばれない4人はA班)

もちろん、結果は同じですよね?

(2)
含まれるといっているところを見ると、集合の考えなのかな?集合として、{1,2,3,4}は{1,2,3,4,5}に含まれますが、組み合わせとしてならば、(1,2,3,4)という書き方は、1~9のうちで、1,2,3,4を選んだという意味だと捉えるべきです。組み合わせの数を考えるなら、どの数を選んだか、ではなく、どのような選び方をしたか、が問題だと思います。(分けわかんなくなっているかも?説明が下手ですみません。)
選び方を考えているのですから、そもそも、(1,2,3,4)と(1,2,3,4,5)は比べられません。

(1,2,3,4)に対応するのは、(5,6,7,8,9)です。(1,2,3,4)は(1)のA班、(5,6,7,8,9)はB班に対応します。A版とB班のメンバーは比べられませんよね?

(1,2,3,4)が(1,2,3,4,5)に含まれるという言い方は、1,2,3,4はA班とB班両方に入っているということになります。

つまり、9C4と9C5のちがいは、選び方の違いだけです。先に(A班の)4人を選ぶか、それとも先に(B班の)5人を選ぶか、どちらにするか、です。
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前回にも同じ趣旨の回答がありましたが・・・(今回の#2さんも同じ趣旨ですね)



「100個のうち98個を選ぶ選び方は?」
という問題が出されたら・・・
選ばない2つを決めて捨てたくなりませんか?
(これとこれとこれと・・・って98個選ぶのではなく、「これとこれ以外全部ちょうだい」という言い方をするでしょう?)

つまり、「100個のうち2個を捨てる捨て方は?」と同じ問題となります。

したがって、100C98 = 100C2 となります。

法則というか公式として、nCr = nC(n-r) というのがあります。
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>疑問(1)は126で同じになったのは偶然でしょうか?



いえ、偶然ではありません。9つの数字から4つ選ぶのも5つ選ぶのも実質同じです。例えば
4つ選ぶときに
1,2,3,4
を選ぶのと
5,6,7,8,9
を選ぶのはどっちを選ぶか選ばないかが逆になるだけです。
この組み合わせはすべて1対1に対応します。

>例えば10C4と10C5は同じ数の組み合わせになるとか、

なりません。10C4の場合同じになるのは10C6です。

>疑問(2)は9C4=126の組み合わせは全て9C5=126の組み合わせに含まれるのでしょうか?

?それは9C4の組み合わせにある任意の数列が必ず9C5の組み合わせに含まれるということですか?
4つ選んで残りの5つの中からひとつ選んだものはすべて9C5に含まれているはずです。
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(5,6,7,8,9)には(6,7,8,9)のほかに(5,6,7,8)も含まれるから全然関係ないんじゃない?126で同じになったの

はたまたまじゃない?
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