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数学カテゴリと迷いましたが、ここで。
代入して解く方法(下記の(1))と全微分して解く方法(2
)とで、答えが異なってしまいます。計算上の誤りの原因を教えてください。

総需要曲線ADを
Y=(5/2)(10+G+400/P)
とします。財政支出(もとの水準は50)Gの増加によって均衡を(Y,P)=(400,4)から(500,5)にしたいばあい、Gの増加分を求めます。

(解答1)
ADに (500,5)を代入してGの変化分を見る。ΔG=60.(正答)

(解答2)
ADを全微分すると
ΔY=(5/2)(ΔG-(400/P^2)ΔP)
ΔY=100,ΔP=1,P=4だから、ΔG=65

よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

微分の操作というのは、微小量の変化に対して成立し、変化量がが大きいときはあくまでも近似的にしか成立しません。

例外は関数が線形(一次式)のときだけです。あなたの質問のAD式は非線形(400/Pの部分が非線形になっている)なので、全微分しても近似的に妥当する結果しか得られないのです。簡単な例で説明しましょう。
  Z = XY
という非線形の式を考えましょう。全微分すると、
 ΔZ=YΔX+XΔY
となります。しかし、より正確には
 ΔZ=YΔX+XΔY+ΔXΔY
となるのですが、ΔXとΔYがゼロにかぎりなく近い"微小量"ならば、ΔXΔYは無視しても差し支えないので、この項を無視して得られたのが全微分の結果(最初のほうの式)です。しかし、ΔXあるいはΔYが"無視できない"大きな値なら、最初のほうの式(全微分の式)を使うと誤差が大きくなり、正確な値からの乖離が大きくなります。2番目の式で計算する必要があるのです。
あなたの質問の場合も、変化量の大きな問題に対して全微分を使おうとしているので、誤差が大きくなるのです!
    • good
    • 0
この回答へのお礼

>例外は関数 が線形(一次式)のと きだけです。
肝に命じておきます。ご回答ありがとうございました!

お礼日時:2013/11/12 09:50

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Q2階の条件・・

1階の条件とか2階の条件とかって、いったいなんなんですか??わかる方詳しく教えてください!

Aベストアンサー

1階の条件,2階の条件にお答えします.

これは,極地問題であると考えます.
つまり,関数値の極大・極小(まとめて極値)となる値を求める問題です.

関数がy=f(x)であるとして,
f(x)が,x=aで極値をとり,その関数が微分可能であるとき,微分df(a)/dx=0 である.
そして,aの近傍(x≠a)で,関数fが微分可能であるとき,df/dx>0 (x<a) ,df/dx<0 (x<a)
ならば,f(x)はaで極大である.
また,逆にdf/dx<0 (x<a) ,df/dx>0 (x<a)
ならば,f(x)は,aで極小になる.

例題
y=-1/3x^2(xの二乗)+2x
の極値を求めなさい.

導関数を求めると,
dy/dx=-2/3x+2 である.
ここで,1階条件は,この導関数が0となることである.
よって,dy/dx=-2/3x+2 =0とする.
∴x=3 この点で関数は極値をとる.

しかし,これが,極大か極小か分からない場合もある.
(この問題の場合,元の式から,凹関数(上に凸な関数)であることは明白である.よって,X=3の時点で極大であることは分かってしまう.)

先の問題で考えると,
2階の条件として,dy/dx=-2/3x+2
をもう一度,xで微分する.
そうすると,
-2/3<0である.
これは,関数の形状が,上に凸(つまり山形)になっていることに他ならない.逆ならば,値は正で下に凸な関数であり,極値は最小値を与える.

このように,
1階条件で,極値を考え,2階条件でそれが,極大なのか,極小なのかを調べたわけである.

専門ではないですが,経済学で企業の利潤最大化行動
などを分析するのなどに使う常套手段であり,難しいものではありません.
やさしい経済数学の本など参考にしてみてはいかがでしょうか.

1階の条件,2階の条件にお答えします.

これは,極地問題であると考えます.
つまり,関数値の極大・極小(まとめて極値)となる値を求める問題です.

関数がy=f(x)であるとして,
f(x)が,x=aで極値をとり,その関数が微分可能であるとき,微分df(a)/dx=0 である.
そして,aの近傍(x≠a)で,関数fが微分可能であるとき,df/dx>0 (x<a) ,df/dx<0 (x<a)
ならば,f(x)はaで極大である.
また,逆にdf/dx<0 (x<a) ,df/dx>0 (x<a)
ならば,f(x)は,aで極小になる.

例題
y=-1/3...続きを読む

Q内生変数と外生変数の意味

マクロ経済学を勉強中なのですが、
いきなり説明もなしに内生変数と外生変数という単語が出てきました。

投資需要は単純化のために外生変数とおく
政府支出や税収といった政策変数も外生変数
政策変数は外生変数とおき、内生変数をとき、政策変数の変化が内生変数にどのような変化をもたらすのか

こんな文章がでてきてまったくもって意味がわかりません…
どうかわかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

ごく簡単にいえば、外生変数とは経済モデルを作る人が数値を自由に設定できる「前提条件」にあたります。内生変数とは、前提条件の下で作られた経済モデル(連立方程式)を解いて得られる「未知の変数」という意味です。

高校数学でやった、連立方程式でXの値に適当な数字を入れるとYの値がどうなるか、といったことを難しく言っているだけです。マクロ経済学の初歩ということであれば、IS-LMモデルによるマクロ経済モデル等でしょう。一番簡単なモデルはたとえば以下のようなものです。

YD=C+I+G-T:総需要
C=C(Y):消費関数
I=I(r):投資関数
G=一定:政府支出
T=一定:税収
M/P=L(r,Y):通貨需要関数
YS=F(L):総供給関数
YS=YD:需給均衡条件
P=一定:一般物価水準(一定)

C:消費、I:投資、M:マネーサプライ、r:金利、L通貨需要、
L:雇用量

上記の方程式群を、外生変数を右辺に集め、内生変数(未知変数)について解くことになります。上記ではIは金利と所得の関数となっていますが質問のようにIを外生変数にすればさらに簡単になります。経済学的には、外生変数(政策変数)をいろいろ操作することで、Y(所得)がどう変わるのか、ということが一番関心事です。したがって、Gの変更(政府支出の操作=財政政策)やMの変更(マネーサプライの操作=金融政策)の効果を見ていることになります。

ごく簡単にいえば、外生変数とは経済モデルを作る人が数値を自由に設定できる「前提条件」にあたります。内生変数とは、前提条件の下で作られた経済モデル(連立方程式)を解いて得られる「未知の変数」という意味です。

高校数学でやった、連立方程式でXの値に適当な数字を入れるとYの値がどうなるか、といったことを難しく言っているだけです。マクロ経済学の初歩ということであれば、IS-LMモデルによるマクロ経済モデル等でしょう。一番簡単なモデルはたとえば以下のようなものです。

YD=C+...続きを読む


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