仕事を頑張る人のおしりトラブル対策

問題

x>0のとき、e^(2x)>x^2/2となることを示せ

証明をどう書けばよいのか分かりません
解説お願いします

A 回答 (4件)

e^x のマクローリン展開の公式


e^x=1+Σ[n=1,∞] x^n/n! (|x|<∞)  ...(1)
  =1+x+x^2/2+x^3/3!+ … +x^n/n!+ … ...(2)
x>0で全ての項>0なので x^2の項以外を省略すると
 e^x > x^2/2 ... (3)
が成り立つ。
また x>0で e^(x)>1なので 両辺2乗して
 e^(2x)=(e^x)*(e^x)>(e^x)*1=e^x ...(4)

(3),(4)から
 e^(2x) > e^x > x^2/2 (x>0)
∴ e^(2x) > x^2/2 (x > 0)

(証明終り)
    • good
    • 0

補足質問:微分を用いての証明を教えていただきたいです



>f(x)=2x-2lnx+ln2で考えるなら、
f'(x)=2-2/xだから
O<x<1でf'(x)<0、f(x)は減少関数。
1<xでf'(x)>0、f(x)は増加関数。
x=1でf(x)は極小となり、f(1)=2+ln2>0。
よって、x>0でf(x)>0(証明終わり)

もし、対数を使いたくないなら、No.2さんの考え方でよいのでは?
書いてみると、
f(x)=e^(2x)-(1/2)x^2
f(0)=1
f'(x)=2e^(2x)-x=g(x)とおくと
g(0)=2
g'(x)=4e^(2x)-1=h(x)とおくと
h'(x)=8e^(2x)>0だからh(x)は増加関数であり
h(0)=3だからx>0でh(x)>0すなわちg'(x)>0。
よってg(x)はx>0で増加関数であり、g(0)=2
だからx>0でg(x)>0すなわちf'(x)>0。
よってf(x)はx>0で増加関数であり、f(0)=1
だからx>0でf(x)>0(証明終わり)
    • good
    • 0

y=f(x)=e^(2x)-x^2/2



がx>0で常にy>0を示せばよい。

f(0)=1 ゆえにx>0で

y'=f'(x)=2e^(2x)-x>0

が言えればよい。

f'(0)=2 ゆえにx>0で

y''=f''(x)=4e^(2x)-1>0

が言えればよい。

f''(0)=3,4e^(2x)は単調増加関数

ゆえにx>0で

y''=f''(x)=4e^(2x)-1>0


QED
    • good
    • 0

>両辺の対数をとって、その差f(x)=2x-2lnx+ln2が


x>0でf(x)>0であることを示せばよいでしょう。

この回答への補足

回答ありがとうございます
微分を用いての証明を教えていただきたいです

補足日時:2013/11/14 21:41
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング