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XY平面での領域K2乗・X2乗+Y2乗/K2乗≦4 〈K>0〉と領域XY≧1の共通部分の面積SがKの
値に無関係な一定の値になることを示し、その値を求めよ。 図などがあると助かります。
交点と積分の詳しい式を教えてください。

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A 回答 (2件)

 K^2*X^2+Y^2/K^2≦4 (K>0) ...(1)


境界線を楕円の標準形:x^2/a^2+y^2/b^2=1に対応させると
中心:原点、対称軸:x軸とy軸、x方向半径a=2/K, y方向半径b=2K
となります。この楕円の周と内部領域が(1)の領域(☆)です。
グラフは描いて見てください。
 XY≧1 ...(2)
この境界線はxy=1(つまりy=1/x)で(2)の領域は境界線XY=1と2本の境界線の外側(原点の反対側)の領域が(2)の領域(★)です。
(☆)と(★)の共通領域は2つの原点対称の図形は、第一象限と第三象限にあります。

なので、共通領域の面積Sは,第一象限の領域の図形の面積を求めて2倍すれば良いです。
 K^2*X^2+Y^2/K^2=4 (K>0) ...(1)'
 XY=1 ...(2)'
第一象限の領域の図形の存在領域の範囲は(1)'と(2)'の2つの交点は
連立方程式を解いて
 (X,Y)=((√(3)-1)√(2)/(2K),(√(3)+1)√(2)K/2),
    ((√(3)+1)√(2)/(2K),(√(3)-1)√(2)K/2)
したがって
S=2∫[(√(3)-1)√(2)/(2K),(√(3)+1)√(2)/(2K)] {k(4-k^2*x^2)^(1/2)-(1/x)}dx
=(8arcsin((√(6)+√(2))/4)-8arcsin((√(6)-√(2))/4)
-4log(√(3)+1)+4log(√(3)-1)
+(√(3)-1)(√(3)+1)+(√(3)+1)(1-√(3)))/2
=(8*(5π/12-π/12)+4log((√(3)-1)/(√(3)+1))/2
arcsin((√(6)+√(2))/4)=π/4+π/6=5π/12, arcsin((√(6)-√(2))/4)=π/4-π/6=π/12より
=(4/3)π+2log(2+√3) ←(答え)
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>図などがあると助かります。



と言う事ですから質問者さんはどのようなグラフになるのか分からないと言う事ですね。
とりあえず式を”y=”に変形させてみてください。
それから考えてみましょう。

まあ、この式を見て気づく人は気づいていると思うんですけど
  K2乗・X2乗+Y2乗/K2乗≦4
この式でK=1の場合のグラフは何も考えなくても描けるんですよね。
同様にKが2とか0.5とかの場合を考えると・・・。
あとは自力でも何とかなると思います。(このグラフが描けなければ何もできませんけどね)
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