ナビエストークについてですが,
P(x,y,z:t) q(x+dx,y+dy,z+dz:t+dt) のp-q間のX座標のみの速度変化を求めると
(X,Y,Z):(u,v,w)より
du=(du/dt)dt+(du/dx)dx+(du/dy)dy+(du/dz)dz となりますよね

そこで(du/dt)を求めて,
(dx/dt)=u, (dy/dt)=v, (dz/dt)=w になりますよね

(du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
となりますよね,
同様にしてy,z成分を求めると

X: (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
Y: (dv/dt)=(dv/dt)+u(dv/dx)+v(dv/dy)+w(dv/dz)
Z: (dw/dt)=(dw/dt)+u(dw/dx)+v(dw/dy)+w(dw/dz)
ですよね
これらをベクトル演算子を用いると対流項は
なんで(Vgard)Vになるのですか?
V(gradV)ならわからなくもないんですが.

A 回答 (1件)

成分表示で


(1)  V = (u,v,w)
(2)  grad = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ですから,形式的に V grad という内積を作ると
(3)  u(∂/∂x) + v(∂/∂y) + w(∂/∂z)
というスカラー演算子です.
これを(1)に作用させれば,
(4)X 成分:u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y) + w(∂u/∂z)
(5)Y 成分:u(∂v/∂x) + v(∂v/∂y) + w(∂v/∂z)
(6)Z 成分:u(∂w/∂x) + v(∂w/∂y) + w(∂w/∂z)

V (grad V) ならわからなくもない,というのは変ですよ.
grad はスカラーに作用する演算子で,演算の結果はベクトルですよ.

ところで,kk101 さんは
X: (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
と書かれていて,左辺の時間微分も右辺の時間微分も d/dt ですが,
違いは大丈夫ですよね.

最後に,(V grad)V という表現は直角座標の場合のみ有効です.
一般の座標では微分演算が基底ベクトル(すなわち,座標軸方向の単位ベクトル)
にも作用するので,上のようにはなりません.
一般の座標に使える表現は
(7)  grad{(1/2)V^2} + rot V × V
です.
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以下ベクトルを「~」をつけて表します。

運動方程式
m dv~/dt = F~
がベクトル方程式であるのと同様,回転の運動方程式も本来は
I dω~/dt = N~
というベクトル方程式です。

ベクトル dω~/dt と N~ は同じ方向なのでマイナスはつきません。

ただ,ベクトルの方向成分を取り出してその大きさを
dω/dt および N
とするとき,dω/dt が定義されている向きと逆回転方向であるならば
dω/dt < 0
したがって,
dω/dt = -N
と表記されることもあり得るわけですね。

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ご紹介の方程式は,上のような標準的な基準を守っていない記述といえます。
たとえば,ωの正方向に回転をしている物体にブレーキがかかったような場合,力のモーメントの大きさをNと置いたようなときに,
I dω/dt = -N
といった表現が現れるわけです。

以下ベクトルを「~」をつけて表します。

運動方程式
m dv~/dt = F~
がベクトル方程式であるのと同様,回転の運動方程式も本来は
I dω~/dt = N~
というベクトル方程式です。

ベクトル dω~/dt と N~ は同じ方向なのでマイナスはつきません。

ただ,ベクトルの方向成分を取り出してその大きさを
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とするとき,dω/dt が定義されている向きと逆回転方向であるならば
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#2に場面の説明と図があります。(抵抗Rを入れておく方が分かりやすいでしょう。)
その図で言うと電流の向きは反時計回りです。
この向きは+Qのある極板(Aとします)から-Qのある極板(Bとします)に向かって電荷が移動するということで決まります。逆は起こりません。電流が流れれば極板の上の電荷は減少します。
I=-dQ/dtです。
この式の中でのQは一般的な電荷の意味ではありません。極板Aの上の電荷の意味です。
だからこの式は方程式なのです。(定義式ではありません。)
(この場面でI=dQ/dtは出てきません。電荷が増加する方向に電流が流れるということが起こらないからです。起こるとしたら電池を接続しての充電の場合です。#2の図でいえばスイッチの入っている方向が違うのです。1つの場面に両方の式が出てくるということはありません。)

極板に電荷がたまっていればQ=CVで決まる電位差が存在します。
電流Iはこの電位差とも関係します。I=V/Rです。
I=Q/(CR)ですから微分方程式は Q/(CR)=-dQ/dtになります。
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I=dQ/dt
Q=CV
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t=0でQ=0という条件で解くと
Q=CE(1-exp(-t/(CR)))

t→∞でQ=CEです。
充電できました。

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√(a-y)(y-c_2)dy=√{-ac_2-y^2+(a+c_2)y}dy
=√{(a-c_2)^2/4-(y-(a+c_2)/2)^2}dy, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2
=√{A^2-(y-B)^2}dy, y-B=z
=√{A^2-z^2}dz, z=Au, (-1≦u≦1)
=A|A|√(1-u^2)}du, u=sin(t),(-π/2≦t≦π/2)
=A|A|cos^2(t)dt
=(A|A|/2){1+cos(2t)}dt

といった変形と置換を使って積分すれば

A|A|{t+sin(2t)/2}=x+C

置換前の元の変数、定数に戻せばいいですね。

A|A|{arcsin(u)+u√(1-u^2)}=x+C
A|A|{arcsin(z/A)+(z/A)√(1-(z/A)^2)}=x+C
A|A|{arcsin((y-B)/A)+((y-B)/A)√(1-((y-B)/A)^2)}=x+C

後は, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2を代入して整理するだけなので
ご自分でできますね。


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