以下の問題の解き方が理解できません。
途中の計算なども詳しく教えて頂けると幸いです。
(1) 2階線形同次微分方程式の関数と,二つの関数y1とy2および初期条件の対が与えられている.最初に二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ.次に,初期条件を満たす特殊解を求めよ.
(1) y''-y=0; y1=e^x, y2=e^-x; y(0)=0, y'(0)=5
(2) y''+4y=0; y1=cos2x, y=sin2x; y(0) = 3, y'(0)=8
(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
いずれも 2 次。
(3) をサンプルに堅実な手口で。
ほかも同様…なので割愛。
>(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0
「最初」に「方程式の解であることを確認」
y1=e^x → y1'=e^x → y1''=e^x …(1)
y2=e^(2x) → y2'=2e^(2x) → y2''=4e^(2x) …(2)
↓
(1) を原方程式へ代入。
y''-3y'+2y = e^x - 3e^x + 2e^x = 0 … OK
(2) を原方程式へ代入。
y''-3y'+2y = 4e^(2x) - 6e^(2x) + 2e^(2x) = 0 … OK
一般解は、
y = C1e^x + C2e^(2x)
y' = C1e^x + 2C2e^(2x)
らしいから、これに「初期条件」 y(0)=1, y'(0)=0 を代入し、
1 = C1 + C2 …(3)
0 = C1 + 2C2 …(4)
残務は、(3), (4) から {C1, C2} を勘定すること…だけ。
No.3
- 回答日時:
>以下の問題の解き方が理解できません。
解き方がわからないのなら、教科書で復習された方がよいと思います。
解き方
>二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ.
y1,y2を方程式の左辺に代入して=0となることを示せばよい。
>初期条件を満たす特殊解を求めよ.
y=C1*y1+C2*y2 ...(※)
の式にy(0),y'(0)の初期条件を代入して得られるC1,C2の式をC1,C2の連立方程式として解き、(※)に代入すれば特殊解になります。
やってみて、分からなければ、補足にやったところまでの途中計算を書いて、行き詰まっているところについて質問してください。
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