こんにちは~☆

今度、教科書で円周率が「3」になりましたね。
円周率の「3.14159・・・」ってどういった計算式からしているのか
子供の時から疑問に思っておりました。

PCのベンチテスト(東大・金田教授)にも、取り入れられていますね。
やはりかなり複雑な計算式なのでしょうか?
当然、10÷3=と言うような簡単な式ではないのでしょうね。(笑)
ご存知の方、よろしくお願い致します。

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A 回答 (6件)

「複雑」って言うほど複雑ではないですよ。



私が知っているのは、ライプニッツの公式と、マーチンの公式って
いうやつです。

参考URLに式が載っているので、見てみてください。級数の表記が
分かっていれば、そう難しい式ではないですよね。

参考URL:http://village.infoweb.ne.jp/~fujii3/pai.htm
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この回答へのお礼

素早い回答をいただき、ありがとうございます!

お勧めサイトを見てきましたよ。
いろいろな公式また、実際に測量する方法や
方眼紙から面積を求める方法があるのですね。

公式を見ていたら頭がクラクラ。(笑)
それで一度、こちらに戻ってくるとアッ!
6人より回答をいただいていました。
あとでゆっくりと拝見してみます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。m(__)m

お礼日時:2001/05/31 17:58

papillonさん こんにちは。



「π(パイ)の部屋」というWEBサイト↓(参考URL)をご存知ですか?
円周率について 実に様々なことが記述されています。

円周率に関しては、私の おすすめのサイトです。

参考URL:http://www1.coralnet.or.jp/kusuto/PI/index.html
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この回答へのお礼

素早い回答をいただき、ありがとうございます!

お薦めサイト、あとでゆっくりと拝見してみます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。m(__)m

お礼日時:2001/05/31 18:03

先ほどのライプニッツの公式の導出原理を。

三角関数の逆関数で
アークタンジェント(以下、arctan)を考えます。

45度、つまり、π/4 のタンジェントは1ですから、arctan を
考えると、

π = 4 × arctan(1)

また、arctan の テーラー展開は、

arctan(x) = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 + …

という感じになるので、x=1を代入すると、ライプニッツの公式に
なります。

先程紹介した式のほかに、ガウスの公式やシュテルマーの公式と
いうのがあるそうです。
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この回答へのお礼

今後ともよろしくお願い申し上げます。m(__)m

お礼日時:2001/05/31 18:03

参考URLのページにいろいろ面白そうなことが出ているようです。



参考URL:http://hp.vector.co.jp/authors/VA014765/pi/index …
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この回答へのお礼

素早い回答をいただき、ありがとうございます!

お勧めサイトを見てきましたよ。
いろいろな公式また、実際に測量する方法や
方眼紙から面積を求める方法があるのですね。

公式を見ていたら頭がクラクラ。(笑)
それで一度、こちらに戻ってくるとアッ!
6人より回答をいただいていました。
あとでゆっくりと拝見してみます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。m(__)m

お礼日時:2001/05/31 18:01

円周率は、いくつか求め方があるんですが・・・



最も簡単なのは、「円周の長さ÷直径」ですが、どうしても複雑に知りたい
のであれば、以下のページを参照ください
「様々なπの近似値」というコーナーに、色々載ってます

参考URL:http://www1.sphere.ne.jp/usn/index.html
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この回答へのお礼

素早い回答をいただき、ありがとうございます!

> 円周率は、いくつか求め方があるんですが・・・

いろいろな公式また、実際に測量する方法や
方眼紙から面積を求める方法があるのですね。
お薦めのサイト、あとでゆっくりと拝見してみます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。m(__)m

お礼日時:2001/05/31 18:01

いろいろありますけど、簡単というか、割と単純なものもありますよ。




Π   1 1 1 1
-=1--+---+--・・・・   とか。
4   3 5 7 9
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この回答へのお礼

素早い回答をいただき、ありがとうございます!
今後ともよろしくお願い申し上げます。m(__)m

お礼日時:2001/05/31 17:59

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Aベストアンサー

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「割り算の答えが整数になる」である場合と、
「割り算の答えを何回か 10 倍すると整数になる」
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文脈によって違いますから、
区別して理解することが必要でしょう。

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割られる数が整数でないときは、
1で「割れる」とは限りません。
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Qアルキメデスが円周率を計算したやり方は?

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Aベストアンサー

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、三角形AOMと三角形CAMでそれぞれ
ピタゴラスの定理を使います。

三角形AOMにおいて、
AM=1/2AB=1/2←この時点で、もうxは求まっています。
あとは、MC=yとおいたので、
OA^2=AM^2+OM^2
1=(1/2)^2+(1-y)^2
これを解けば、yが求まります。

次に、三角形CAMにおいて、同様にピタゴラスの定理より
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ここに、先程求めたyの値を代入してやれば、aの値も求まります。

これによって、12a=内接正12角形の周囲
と求められます。

これをさらに2等分、2等分・・としていくと
同様に正多角形の周囲が求められていくと思います。

ちょっとやってみます。
先程の12角形の12分の1の三角形は、三角形OACでした
便宜上、AC=aのままとします。
角AOCの二等分線は、線分ACと直交し、二等分するので
線分ACの中点をNとします。
ONの延長線と円の交点をDとします。
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これは正24角形なので、24b=正24角形の周囲、となりますね。

OA=OC=1
AC=aより、AN=a/2
ND=xとおくと、
三角形AONにおいて、
1^2=(a/2)^2+(1-x)^2・・・(1)
三角形DANにおいて、
b^2=(a/2)^2+x^2・・・(2)

まず、(1)の式から、xが求められますね。
そのxの値を(2)に代入することで、bも求められます。
ここでaというのは、先程求めた正12角形のACの長さです。

このように、順番に、二つの三角形の
ピタゴラスの定理だけで、長さを確定していくことができます。
これを繰り返してアルキメデスは正96角形までを計算したんですね。

ご参考になればうれしいです。

#2fushigichanです。お返事ありがとうございます。

>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。

角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、...続きを読む

Q円周率とπ(ラジアン)

円周率を求める方法を調べていたら、tan(π/6)=1/√3の逆関数を使って求める方法がありました。このπは円周率なのですか?円周率を求めるのに、円周率(π?)を用いて解いてしまって良いのでしょうか?
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下記サイトを参考にしてはどうでしょうか?

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次はその四角の2点と円弧上の点を頂点とする二等辺三角形を想定します。
で、次は、その四角の1点と、先程の円弧上の点を頂点とする
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あとは、この面積を半径の二乗で割れば、円周率が出ます。

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Q円周率の計算はなんのため?

円周率の計算はなんのため?

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Aベストアンサー

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Q流しそうめんのギネス記録

流しそうめんの、ギネス記録は2345メートルでいいのでしょうか。
また、参加者のギネス記録等々、流しそうめんのあらゆるギネス記録
が載っているサイトを教えてください。

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http://news.livedoor.com/article/detail/3738147/
http://digimaga.net/2008/07/new-guinness-record-of-sink-thin-noodles-2345-kilometers.html

2345mで間違いないですが、毎年、恐らく数組のチャレンジがあるのではないかと思うほど、記録が伸びています。
また、下記も参考に。


http://www.sekaikiroku.com/c_siryou/c03_merumaga_bn/20040607.txt
この季節になると毎年のように、「流しそうめんで世界一にチャレンジしたい!」という相談を寄せられます。

Qこの円周率を求める式について・・・

まず、「X=√3」とします。
その「X」に「2」を加えます。
つまり、「X=2+√3」となります。
その値の平方根を求めます。
つまり、「√(2+√3)」となります。
その値を、「X」に代入します。
つまり、「X=√(2+√3)」となります。
その「X」に「2」を加えます。
つまり、「X=2+√(2+√3)」となります。
その値の平方根を求めます。
つまり、「√(2+√(2+√3))」となります。
その値を、「X」に代入します・・・。
この「X」に「2」を加えて平方根を求めることを、適当な回数繰り返します。(繰り返した回数を「N」とします。)

続いて、上記の計算の答えの「X」と「N」を次の式「2^(N+1)×3×√(2-X)」に当てはめます。
すると、繰り返す回数が多いほど円周率の「3.1415…」に
近づくのですが、これと「まったく同じ」という円周率の公式はあるのでしょうか?あるとしたら、公式の名前を教えてください。

わかりにくい質問でごめんなさい。
ちなみに、実際に計算した場合、「N=2」のとき(「2」を加えて平方根を求めることを2回繰り返したとき)は「X=1.9828897・・・」となり、次の式に値を代入すると「2^(2+1)×3×√(2-1.9828897)」、答えは「3.139352・・・」となります。

まず、「X=√3」とします。
その「X」に「2」を加えます。
つまり、「X=2+√3」となります。
その値の平方根を求めます。
つまり、「√(2+√3)」となります。
その値を、「X」に代入します。
つまり、「X=√(2+√3)」となります。
その「X」に「2」を加えます。
つまり、「X=2+√(2+√3)」となります。
その値の平方根を求めます。
つまり、「√(2+√(2+√3))」となります。
その値を、「X」に代入します・・・。
この「X」に「2」を加えて平方根を求めることを、適当な回数繰り返します。(繰り返した回数を「N」...続きを読む

Aベストアンサー

単純に余弦の半角公式を繰り返しているだけに見えます。

 2cosθ = √(2 + 2cos2θ)

ビエタの公式では、半角公式で得られた各段階の余弦の値をすべて掛けていきますので、質問者様の方法とは異なります。

Q円周率について

学校で円周率の歴史について
レポート5枚以上書くことになりました。

そこで聞きたいことがあります。
円周率は誰が一番最初に何の目的があって求めようとしたのか?
つまり円周率の起源がわかりません。

適当に色んなページを読み漁ったのですが
僕は円周率の起源は解明されてないのではと考えています。
この考えは正しいでしょうか?

何か情報がありましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

>円周率は誰が一番最初に何の目的があって求めようとしたのか?
>つまり円周率の起源がわかりません。
>僕は円周率の起源は解明されてないのではと考えています。
>この考えは正しいでしょうか?

いいところに気付きました!と言いたいところですが、
実は大事なポイントを見失っています。

「円周率」や「√2、というか、正方形の辺と対角線の比」というものは、

数学者、というか、古代では、そういう分業制がなかったので、自然哲学者(今でいう、数学やら物理やら生物やら何でもかんでも考える人、ニュートンなどは、完全にそっちの方の人でした)が、

図形や数の研究をして、そういうものを最初に発見した、などというものではなく、

元々、大工さん・石工さんなどが、仕事で必要なので、円周率なら、円周と直径の比は、円の大きさに関係なく同じで、大体、3ちょっとくらいだ、なんてことは、誰かが最初に発見したのか、段々解るようになってきたのか、自然哲学者が活躍する時代には、もうとっくに知られていたことでした。

そういう時代には、そういうことを見つけた、大工・石工は、自分の跡継ぎ以外には、弟子にも教えない(みんなが知っちゃうと、自分や自分の身内の仕事が減るから)、なんてことは普通だったので、いきなり、たくさんの人が、知っていることになったりしませんでしたが、段々には拡がって行って、その流れで、自然哲学者も、そういう数の性質やできるだけ正確な値を求めるような研究を始めていった、というのが、歴史の流れかと思います。

調べる中で、見つけたことかもしれませんが、幾何学は、英語で、geometry、geoが大地/地球、metryはmeter(計測器のメーター、長さの単位メートル)は、測るなので、測地・測量のこと、

古代エジプトでは、ナイル川の氾濫のため、養分の多い土が、上流から運ばれてくるのは農業にとってプラスだが、氾濫で、農地の区画が解らなくなるのは、マイナス、その区画の引き直しだとかの工事のために、そういう知恵を集めて、測量技術や土木技術が発達し、ひいては、ピラミッドの建設に繋がって行ったりするのですが、もう一方で、こういう知識の集まりが、幾何学の父・ユークリッドを生み出す母体にもなりました。ユークリッドは、何もないところから、純粋に頭だけで考えて、幾何学を生み出した訳ではなく、そういう既に知られた事柄に、筋道をつけていって、その筋道から、まだ知られていない事柄を発見し正しいことを示す方法を見出し、自身も、それを使って、新しい発見をしていった、ということです。

なので、円周率の起源は解明されていない、というのは、
それと、だいぶ次元は違いますが、

「誰がものを数えるということを始めたのか」
「誰が足し算/掛け算を考えたのか」
解明されていない、というのが変なのと、
ちょっと似たところがあります。

難しめの本だと、そこんところは当たり前の前提だから、パスされているかもしれませんね。逆に小学生向きの本なんかの方が、そこんところから色々書いてあるかもしれません。

ついでですから、そういう、職人さん的工夫は、日本でも昔から知られており、今でも使われている例をあげておきます。

曲尺(かねじゃく)という大工さんが使う道具を見たことがありませんか?
今だと金属製ですが、長めの定規が2本、その端っこで直角につながって
いるような道具、次のサイトに画像と、それに付いている√2倍目盛の
使い方の例があります。
http://www.kumamotokokufu-h.ed.jp/kokufu/math/kanejaku.html

1/π倍のような目盛の今でいうとメジャーのようなもので、
まだ、切ってない気の周囲にあてると、切り出せる角材の
最大の対角線の長さの目安がつく、ような道具もあります。

>円周率は誰が一番最初に何の目的があって求めようとしたのか?
>つまり円周率の起源がわかりません。
>僕は円周率の起源は解明されてないのではと考えています。
>この考えは正しいでしょうか?

いいところに気付きました!と言いたいところですが、
実は大事なポイントを見失っています。

「円周率」や「√2、というか、正方形の辺と対角線の比」というものは、

数学者、というか、古代では、そういう分業制がなかったので、自然哲学者(今でいう、数学やら物理やら生物やら何でもかんでも考える人、ニュー...続きを読む

Q有限個の平方根で円周率を求める式はありませんか

円周率以外にも、自然対数、黄金比などもあったら教えてください。
有限個の平方根で円周率を求めることはできますか?

Aベストアンサー

まず、答えではないのですが…

円周率πは無理数であることは、ご存知ですよね。
平方根、たとえば√2も無理数ですよね。
じゃあ、無理数を加減乗除しても無理数ですよね。
ひょっとしたら、無理数を加減乗除して無理数である円周率πを求めることができるかもしれない。『できない』という証明はできるのでしょうか?
ちなみに、無限級数でルートを含む式で円周率が求める公式は存在します。

質問の回答ではありませんが、ちょっと気になったので場を借りました。 申し訳ありませんでした。


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