No.3ベストアンサー
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x=rcosθ, y=rsinθで置換積分すると
D ⇒ {1≦r≦2,0≦θ≦π/2}
∬[D]log(√(x^2+y^2))dxdy
=∬{1≦r≦2,0≦θ≦π/2} log(r) rdrdθ
=∫[θ:0,π/2] dθ*∫[1,2] rlog(r) dr
=(π/2)∫[1,2] rlog(r) dr
部分積分して
=(π/2){[(r^2/2)log(r)][1,2]-∫[1,2](r^2/2)(1/r)dr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)∫[1,2] rdr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)[r^2/2][1,2]}
=(π/2){2log(2)-(1/2)(2-(1/2))}
=πlog(2)-(3/8)π
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