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∬[D]log√(x^2+y^2)dxdy D: 1≦x^2+y^2≦4, x≧0, y≧0

詳しい解説お願いします。

x=rcosθ, y=rsinθ と置いた時のrとθの範囲がわかりません。

A 回答 (3件)

x=rcosθ, y=rsinθで置換積分すると


D ⇒ {1≦r≦2,0≦θ≦π/2}


∬[D]log(√(x^2+y^2))dxdy
=∬{1≦r≦2,0≦θ≦π/2} log(r) rdrdθ
=∫[θ:0,π/2] dθ*∫[1,2] rlog(r) dr
=(π/2)∫[1,2] rlog(r) dr
部分積分して
=(π/2){[(r^2/2)log(r)][1,2]-∫[1,2](r^2/2)(1/r)dr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)∫[1,2] rdr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)[r^2/2][1,2]}
=(π/2){2log(2)-(1/2)(2-(1/2))}
=πlog(2)-(3/8)π
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この回答へのお礼

わかりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2013/12/15 14:28

logr^2の積分がわかりません。



logr^2=2log r

と変換できます。でも積分しなければならないのは log r なんですがね(^_-)
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x y は原点を中心とする円の第一象限部分での積分ということになりますからθの範囲は0~π/2 にないます。

半径 r は1~2の範囲です。

この回答への補足

途中式を教えて下さい。
logr^2の積分がわかりません。

補足日時:2013/12/14 23:58
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この回答へのお礼

途中式を教えて下さい。
logr^2の積分がわかりません。

お礼日時:2013/12/14 23:58

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