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n回試行における確率pの期待値はnpですよね
n回中k回表が出る確率p(k)はnCk(1/2)^nたから、期待値はn*nCk/2^n
ここまでは分かるのですが、ここからn→∞として収束したとして(そもそも何に収束するか分からないのですが……)それは∞回投げた場合の表が出る回数の期待値にはならないですよね
どうすればいいのでしょうか
教えてください

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A 回答 (1件)

ごめんなさい、


質問の内容がわかりません。

コインの表(or裏)の出る回数の期待値がnp=n/2ですよね。

「n回中k回表が出る確率p(k)はnCk(1/2)^nたから、期待値はn*nCk/2^n」は、
kという確率変数の期待値のことで、
npとは別物です・・・。

で、k=1の時を考えれば、k=1の期待値をE(1)とすると、
 E(1) = 1・nC1・(1/2)^n
となり、
n→∞では、
 lim E(1) = 0
となります。

☆ここまでは分かるのですが、ここからn→∞として収束したとして(そもそも何に収束するか分からないのですが……)それは∞回投げた場合の表が出る回数の期待値にはならないですよね
◇求めている期待値が、npとE(k)とでは異なっていますので、当然、異なった値が出てきます。
 np = Σkp(k)
で、E(k)=kp(k)とは違うものです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時:2013/12/21 08:16

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Q「コインを n 回投げて、表が出る回数」の分散?

ものすごく基本的な質問だとは思うのですが・・・

コインを n 回投げて、表が出る回数の分散って、きれいな解があるのでしょうか?コインの表裏は確率1/2だとします。

ΣnCi (1/2)^i (1/2)^(n-i)

これが回数の期待値の式ですよね。
この先がよく分からなくて・・

Aベストアンサー

こういう問題は『分けて考える』というテクニックを知っているといつでもものすごく簡単に解けます。逆にいうと、このテクニックを使わないと二項定理のいろいろな公式を多用する羽目になり、慣れていないとこれ以上簡単にできるのか?ということにもなります。

k回目に投げたコイン(1≦k≦n)が表が出たとき1、裏が出たとき0を取る確率変数をX_iとおきます。X_iは確率1/2で0と1が出ます。このときn回投げた時、表が出る回数というのはX_1+…+X_nとなります。知りたいのはこの分散なのですが、当然X_iたちは独立だから、分散はこれらの和になります。全部同分布なので、

V(X_1+…+X_n)=nV(X_1)

です。ところで、X_1は確率1/2で0と1が出る確率変数です。したがって、E(X_1)=1/2、E(X_1^2)=1/2なのだから、V(X_1)=1/2-(1/2)^2=1/4です。結局答えはn/4ということになります。

実はこれは二項分布です。Bi(n,1/2)とかける分布です。平均はn/2であり、分散は(1/2)(1-1/2)n=n/4と公式で求めることも出来ます。

なお二項分布とは、表が出る確率がpのコインをn回投げたとき表の出る回数のことで、平均はnp、分散はnp(1-p)で与えられます。興味があれば同じように証明できますので、やってみられてください。

こういう問題は『分けて考える』というテクニックを知っているといつでもものすごく簡単に解けます。逆にいうと、このテクニックを使わないと二項定理のいろいろな公式を多用する羽目になり、慣れていないとこれ以上簡単にできるのか?ということにもなります。

k回目に投げたコイン(1≦k≦n)が表が出たとき1、裏が出たとき0を取る確率変数をX_iとおきます。X_iは確率1/2で0と1が出ます。このときn回投げた時、表が出る回数というのはX_1+…+X_nとなります。知りたいのはこの分散なのですが、当然X_iたちは独立...続きを読む


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