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xは時間tの関数

(d^2x/dt)+2(dx/dt)+901x=0 のとき、 振幅が1/eになるまで何回振動するか

全くわかりません。 詳しい解説お願いします。

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A 回答 (1件)

こんばんはです。



まず、微分方程式
 (d^2x/dt)+2(dx/dt)+901x=0
を解くために、次の二次方程式(特性方程式)を解きます。
 z^2 + 2z + 901= 0
これを解くと、
 z = -1 ± 30i
iは虚数単位と呼ばれるもので、i=√(-1)です。

このことから、微分方程式の一般解は
 x = e^(-t)・(A・sin(30t) + Bcos(30t))
  = e^(-t)・C・sin(30t+α)
  = C・e^(-t)・sin(30t+α)
ここで、
 C = √(A^2+B^2)
 tanα = B/A

ですから、
振幅はe^(-t)で減衰してゆくことがわかります。
振幅が1/eになったというのですから、
 e^(-t) = 1/e
よって、t = 1秒。

角速度ωは、ω=30なので、1秒間に30rad進みます。
一周は2π(rad)なので、
 30/(2π) = 15/π
だけ、回った、振動したことになります。
答えは、
 15/π

なお、
 e^(-t)
とかの記号「^」は「何乗」の意味です。
z^2は、zの2乗。
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この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。

お礼日時:2013/12/21 22:23

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