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問題:円に内接する四角形ABCDがあります。AB=3、BC=4、CD=DA=2のときの、
cos∠Bを求めてください。

わかるかた、お願いします!

A 回答 (3件)

△ABCと△CDAにおいて余弦定理を適用すると


 AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcos∠B=CD^2+AD^2-2CD*ADcos∠D
四角形ABCDは円に内接するから∠Bと∠Dは補角の関係にあるから
 ∠B+∠D=180° ∴cos∠D=cos(180°-∠B)=-cos∠B
したがって
 AC^2=3^2+4^2-2*3*4cos∠B=2^2+2^2+2*2*2cos∠B
   =25-24cos∠B=8+8cos∠B
  17=32cos∠B
 ∴cos∠B=17/32
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この回答へのお礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。
わかりやすい説明、ありがとうございます。
よくわかりました!!

お礼日時:2014/06/01 18:15

No.2 さんのとおりなんですけど、図があった方がわかりやすいかと


図を追加しました
「円に内接する四角形の問題」の回答画像3
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この回答へのお礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。
わかりやすい図をありがとうございます!!
わかりやすいです!!

お礼日時:2014/06/01 18:16

ACを結んで、三角形BACと三角形DACについて、余弦定理の式を立てる。


辺ACが共通であることを利用。
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この回答へのお礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。
なるほど、そういう発想をするんですね。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2014/06/01 18:14

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Q円に内接する四角形と三角形

『円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2、BC=2、CD=3、DA=4とする。2つの対角線ACとBDの交点をEとすると、BE:EDの比はどうなるか』という問題がありました。解説がほとんどなく、“BE:ED=△ABC:△ACD”とだけあり、解答が“1:3”となっておりました。なぜBE:EDの比が△ABCの面積と△ACDの面積の比なのかわかりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

三角形の面積の比とは関係なく、解答の1:3を導き出す方法もあります。
まず△ABEと△DCEに着目します。
 ∠AEB=∠DEC(対頂角)
 ∠BAE=∠CDE(BCの円周角)
二角が等しいので
 △ABE∽△DCE
 AB:DC=2:3から
 BE:CE=2:3
次に△CBEと△DAEに着目します。
 ∠CEB=∠DEA(対頂角)
 ∠BCE=∠ADE(ABの円周角)
二角が等しいので
 △CBE∽△DAE
 CB:DA=2:4=3:6から
 CE:DE=3:6
したがって
 BE:CE:DE=2:3:6
 BE:DE=2:6=1:3となります。


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