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41人のクラスで、生活委員を3人選ぶために選挙をすることにしました。41人全員が1人一票ずつ投票するとき、確実に当選するためには最低何票とればよいか、求めなさい。


息子の中学受験の練習問題です。聞かれたのですが、全くわかりません。簡単に41÷3=13あまる2で、14が答えって事はないでしょうし、時間がありませんので、教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (6件)

No.5の方の考え方が気になったので…



>10と1/4票。実際にはあり得ない票数ですが、もし4人が10と1/4票ずつ取ると、
>得票数が同じということになるので、先生に「じゃあじゃんけんで決めなさい」などと言われてしまうかもしれません。
>だから確実に当選できるとは言えませんね。

ここまではその通りなのですが…

>ということはこれより少しでも多く取ればいいのです。票の数は整数に決まっていますから、12票ですね。

これは12票ではなく、11票ですね。
12票なら確かに「確実に当選」という条件は満たしますが、「最低」という条件を満たしません。

41票を4人(A,B,C,本人)でとりあい、「本人」が11票を確保したとします。
その場合、残り31票を3人で分け合うわけですが、「本人」が落選するパターンがありうるのかどうかが問題となります。
しかし、実際にはそんなパターンはありません。なぜならなるべく均等に票を分配すると
 A:11
 B:11
 C:10

となりますが、「本人」と得票数が並ぶのはA,Bの2人だけで、Cは及びません。
従って、この時点でA,B,本人の当選が確定します。
A,BはCに票を分ける余裕はありませんから(分けたら自分が落選する)、Cはどうがんばっても落選です。
これ以外のパターンは、BかCの得票を減らすしかありませんから、「本人」以下の得票者数が増えるだけで、
「本人」の当選は揺るぎません。従って、11票あれば確実に当選できます。

では、「本人」の得票が10票ならどうでしょうか?
その場合は
 A:11
 B:11
 C:11
という得票パターンにより、「本人」による落選が確定してしまいます。従って、「確実に当選」という条件を満たしません。
従って、「確実に当選できる」「最低数」は11票です。
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補足を読んだ上でお答えすると、5人に集中した場合のことは考える必要はありません。

というより考えてはいけないのです。
なぜかというと、5人に集中した場合に必ず当選する最低の票では、4人に集中したときに当選できなくなるからです。これは考えなくてもわかると思いますが、一番当選のレベルが高くなるのは4人に集中したときですよね。だから4人で考えればいいのです。4人に集中しても当選できるなら、5人や6人に集中しても必ず勝てるはずですからね。

というわけであとは他の方がお答えになっているのとあまり変わりません。41人の票を4人で奪い合うのですから、41÷4ですね。ただ、私はこういうときに余りを出さずに分数で答えを出してしまいます。10と1/4票。実際にはあり得ない票数ですが、もし4人が10と1/4票ずつ取ると、得票数が同じということになるので、先生に「じゃあじゃんけんで決めなさい」などと言われてしまうかもしれません。だから確実に当選できるとは言えませんね。ということはこれより少しでも多く取ればいいのです。票の数は整数に決まっていますから、12票ですね。これだけ取れば、他の3人のうち2人が自分より多く取ったとしても、その分残りの1人が票数を減らすわけですから、自分は必ず上位三人の中に入れますね。だから12票取れば当選できるのです。
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頭で考えたままに。



・3人が立候補→全員当選

・4人が立候補→本人が単独3位までに入ればよい
もっとも激戦の場合を考えます。41/4=10.25から11・10・10・10が一番僅差です。これから11票で3位を下回ることはありません。

・5人以上が立候補の場合は単独3位になるためのボーダーラインは4人の場合に比べて低くなります。考えなくてよいです。
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>早速のご回答ありがとうございます。

これは5人に集中した場合等は考えなくても良いのでしょうか?

・A,B,CD,本人の5人に集中
・「本人」は11票を得票

上記の条件が成立しているときに
・「本人」以外の3人が「本人」を超える得票ができるか?
を考えてみればよろしいかと思います。

#ちなみに、No.2の方は、『41人から「1人」を選ぶ場合』と勘違いされていますね。
#その場合でしたら、No.2の方の回答が正解です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもわかりやすくて、助かりました!答えも11人でした。何故そうなるのか?と問い詰められると、さっぱりわかりませんでした。親子で苦心しながら、やっと飲み込んだところです。ありがとうございました。

お礼日時:2014/01/03 21:54

確実に当選するには過半数を取れば良いことになります。


よって21票となります。

Aさん21票
Bさん20票
Cさん 0票(実際は立候補した人は自分に投票するから1票が最低?)

14票では、
Aさん14票
Bさん15票
Cさん12票
となり、14票獲得したAさんでなくBさんが当選してしまいます...
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2014/01/03 21:55

最低限を考えるには、選挙が接戦になった場合を考えます。


この場合は、41人のうち、数名に票が集中した場合が接戦になると考えられます。

もし、3人に集中した場合は、全員が当選できますので、この場合は考えなくてよろしい。
従って、票が4人(仮にA、B、C、本人とします)に集中した場合を考えます。

この場合、41/4=10 余 1となりますので、
10票が一つの目安になります。

では10票あれば確実なのでしょうか?

違います。票が分散した場合の例として、
A:10
B:10
C:11
本人:10
となり、11票のCは確実に当選しますが、残り3人は10票づつのため、「決勝戦」が必要になります。
従がって、10票では「確実」とは言えません。
よって、最低11票集めれば、確実に当選できます。

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます。これは5人に集中した場合等は考えなくても良いのでしょうか?

補足日時:2014/01/03 21:25
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