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弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか?そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。

例えば、
x(t)=(asint,acost,bt)
の曲線があるとして、
これの長さ関数は
x'(t)=(acost,-bsint,0)より
int(0,t)||(x'(t))||dt
=int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt
=sqrt(a^2+b^2)t
より、t=x/sqrt(a^2+b^2)
ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、
x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)),
bs/sqrt(a^2+b^2))
となると解釈して宜しいのでしょうか?

分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。

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A 回答 (2件)

#1のKENZOUです。

パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]|dr/dt|dt
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。

>tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?
仰る通りと思います。
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この回答へのお礼

何度も丁寧な回答ありがとうございます。

ーーー引用させていただきましたーーーーーーーーーー
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

なるほど、こういうことだったんですね。
物理的イメージで追うと分かりやすくなり、理解できました。ありがとうございます。

お礼日時:2004/05/04 10:34

孤長について復習しておきますと。

。。
滑らかな曲線r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))があってその曲線上の近接した2点P,Qの曲線の長さは点P,Qを結ぶ2直線で近似することができます。従って
 PQ=√{(△x)^2+(△y)^2+(△z)^2
  =√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t  (1)
ここで△t→0の極限をとり、PQ→dsとすると
 ds=lim(△t→0)√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t
  =√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt  (2)
となります。従って曲線に沿った弧長s(tをパラメータとする)はパラメータtを0からtまで積分すればよいから
 s(t)=∫[0,t]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt (3)
となります。このs(t)を孤長パラメータといいます。
[例題]
 x(t)=(asint,acost,bt)  (4)
この曲線の孤長パラメータは既に見出されているように(上の式に代入して計算すれば)
 s=sqrt(a^2+b^2)t  (5)
となります。ここからtを求めると
 t=s/sqrt(a^2+b^2)  (6)
これが
>弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換
の意味でしょうか?(6)を(4)に代入すると
 x(s)=[asin{s/sqrt(a^2+b^2)},bcos{s/sqrt(a^2+b^2)},bs/sqrt(a^2+b^2)}]
となります。これはlinuxbeginnerさんのだされた答えと同じです。

この回答への補足

返事ありがとうございます。
分からない点があるので、再度質問させていただきたのですが、

長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
で、私が先ほど計算した結果は弧長パラメータにより
tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?

宜しければご回答お願い致します。

補足日時:2004/04/30 00:05
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Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む

Q曲率の求め方

2次元で、3点(X1,Y1), (X2,Y2), (X3,Y3) が既知のとき、
これらの点を通る円の曲率の求め方を教えて頂けないでしょうか?また、3次元で4点がわかっている時の求め方も教えて頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

2次元の場合の曲率ρは,3点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)で作られる三角形の外接円の半径Rの逆数を求めればいいので,正弦定理より,
ρ=1/R=2sinA/|BC|
を利用して求めるといいでしょう.ここでsinAの値を求めるにはいくつかやり方があるかと思いますが,ここでは簡単に2次元ベクトルの外積を利用して,
|AB↑×AC↑|=|AB||AC|sinA
から求めてみます.左辺は
AB↑×AC↑=(OB↑-OA↑)×(OC↑-OA↑)=OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑
と変形できますので,曲率ρは,
ρ=2|AB↑×AC↑|/|AB||AC||BC|=2|OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑|/|AB||BC||CA|
と表すことができます.ここで具体的に座標の値を入れてあげると,
OA↑×OB↑=X1Y2-X2Y1
|AB|=√((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)
より,最終的に
ρ=2|X1Y2-X2Y1+X2Y3-X3Y2+X3Y1-X1Y3|/√[((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)]
となります.

3次元になると,一般化の計算は何か上手い方法を見つけないと大変でしょうね.^^

2次元の場合の曲率ρは,3点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)で作られる三角形の外接円の半径Rの逆数を求めればいいので,正弦定理より,
ρ=1/R=2sinA/|BC|
を利用して求めるといいでしょう.ここでsinAの値を求めるにはいくつかやり方があるかと思いますが,ここでは簡単に2次元ベクトルの外積を利用して,
|AB↑×AC↑|=|AB||AC|sinA
から求めてみます.左辺は
AB↑×AC↑=(OB↑-OA↑)×(OC↑-OA↑)=OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑
と変形できますので,曲率ρは,
ρ=2|AB↑×AC↑|/|AB||AC||BC|=2|OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q次の式をグリーンの定理を用いて計算せよ。という問題

次の線積分をグリーンの定理を用いて計算せよ。
I=∫c x^2ydx+x^3ydy
ただし、C={(x,y)|y = x^2, -2≦x≦2}∪{(x,y)|y = 4, -2≦x≦2}
という問題がわかりません・・。
できれば解説等とグリーンの定理と普通に計算した場合も添えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ガウスの定理、ストークスの定理、グリーンの定理は、
それぞれに別バージョンや異なる表式、同じ定理の別名
などがあって命名が錯綜しています。
質問の問題で言えば、その「グリーンの定理」は↓のことでしょう。
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/GreensTheorem/

積分路 C は曲線 C を xy 平面上反時計回りに一周する閉路、
領域 D を曲線 C が囲む領域として、
上記「グリーンの定理」によって
I = ∫[C] x^2y dx + x^3y dy
= ∫∫[D] { ∂(x^3y)/∂x - ∂(x^2y)/∂y } dy dx
= ∫∫[-2≦x≦2, x^2≦y≦4] x^2(3y-1) dy dx
= ∫[-2≦x≦2] x^2 { ∫[x^2≦y≦4] (3y-1) dy } dx
= ∫[-2≦x≦2] x^2 { (3/2)(16 - x^4) - (4 - x^2) } dx
= 2 ∫[0≦x≦2] { -(3/2)x^6 + x^4 + 20x^2 } dx
= 6784/105.

ガウスの定理、ストークスの定理、グリーンの定理は、
それぞれに別バージョンや異なる表式、同じ定理の別名
などがあって命名が錯綜しています。
質問の問題で言えば、その「グリーンの定理」は↓のことでしょう。
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/GreensTheorem/

積分路 C は曲線 C を xy 平面上反時計回りに一周する閉路、
領域 D を曲線 C が囲む領域として、
上記「グリーンの定理」によって
I = ∫[C] x^2y dx + x^3y dy
= ∫∫[D] { ∂(x^3y)/∂x - ∂(x^2y)/∂y } dy dx
= ∫∫[-2≦x≦2, x^2≦y≦4] x^2(3y-1) ...続きを読む

Q線積分、面積分とは何?

現在、大学でベクトル解析を学んでいます。
そこで、線積分や面積分といったものがでてきたのですが、計算方法はわかったのですが、何を求めているのかが
今ひとつ分かりません。
 線積分とは、定点から、線分のある点に向かう
ベクトルとそのある点における値を掛けたものを線分上の
全ての点において足し合わせたもの、面積分とはある点における面素とその点における法線を掛けたものを面上の全ての点において足し合わせたもの
 と解釈しているのですが、やはり、どこの値がでてきているのかが今ひとつ分かりません。また、これを求めることによりどんな利点があるのでしょうか?力学や電磁気等を理解するには必須みたいですが・・・。
 よろしければ、回答お願いいたします。

Aベストアンサー

積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

一言で言えば、積分とは「(無限小に)細かくわけて足し算すること。」に他なりません。

こういった視点からみてみますと、線積分とは「なにがしかの線を細かく分けて調べ、それをすべて足し合わせることによってその線全体の性質を調べること」を意味します。

例えば、「太さが一定でなく、とある関数であらわされているような紐の重さを計算する」というのが一つの例になるでしょう。

一方、面積分とは同じように書くならば、「何がしかの曲面を細かく分けて調べ、その量をすべて足し合わせることによって面全体の性質を調べること」になります。

例としては、日本全体の人口密度分布が分かっているときに、日本全体の人口を求めること、や、地価の分布が何らかの関数であらわされているとき、その地方の土地の値段の総量を求めるような計算が面積分です。

*******************************************
以上のようだそうです.

積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

一言で言えば、積分とは「(無限小に)細かくわけて足し算すること。」に他なりません。

こういった視点からみてみますと、線積分とは「なにがしかの線を細かく分けて調べ、それをすべて足し合わせることによってその線全体の性質を調べること」を意味します。

例...続きを読む

Q楕円の曲率について

楕円の曲率を計算してみたのですが、
曲率が一番大きな箇所・・・長径の端点
曲率の最も少ない箇所・・・媒介変数表示による角度で大体45°を超えた
             あたり
の結果がでました。短径の端点が曲率最小とならなかったのが不思議です。
計算結果を検証する方法はないでしょうか。作図でも構いません。
URLのご提示でも構いません。

Aベストアンサー

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮閉線は次のようになります(参考URL)。
  (ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=(a^2-b^2)^(2/3)…(2)
a,bに具体的な値を入れて2曲線を作図して(2)の法泉を引いて曲率半径を図れば確認できます。
楕円の曲率半径は計算で出ますよ。

2a=長径、2b=短径(a>b)、とすると、
x = acos(t), y = bsin(t), t:真円の場合の角度(rad単位)
曲率:k = ab / (a^2 sin(t)^2 + b^2 cos(t)^2)^(3/2)
曲率半径:R = 1 / k
で曲率半径:Rが計算できます。ここで、x = acos(t), y = bsin(t)
t=π/2(90度)のとき、k2=b/a^2(最小曲率)、R2=a^2/b(最大曲率半径)
t=0のとき、k1=a/b^2(最大曲率), R1=b^2/a(最小曲率半径)
t=π/4(45度)のとき、k4=ab(2√2)(a^2+b^2)^(-3/2), R4=(a^2+b^2)^(3/2)/{ab(2√2)}

となります。a=2,b=1の場合計算してみると
R2=4 ,k2=1/4=0.25,
R1=1/2=0.5 ,k1=2,
R4=(5/8)√10=1.9764…, k4=(4/25)√10=0.5059…
となります。

参考URL:http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/243_daen.htm

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮...続きを読む

Q接平面の式

曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?

また、その接平面から距離が√5となる平面の式も
求めたいのです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考程度に

「曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?」

接平面の方程式がいりますね。
z=f(xy), 点(a,b,c) の時の 接平面の方程式は、
z-c=fx'(a,b)(x-a)+fy'(a,b)(y-b)
ですね。
z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)の場合は、
c=1, {∂f(xy)/∂x}(1,1,1)=-2x=-2
{∂f(xy)/∂y}(1,1,1)=-2y =-2
z-1=-2(x-1)-2(y-1)=-2x-2y+4
z=-2x-2y+5
ということですかね。

Qベクトル解析の面積分

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
S:円柱面 y^2+z^2=4
0≦x≦1
z≧0
のとき、次の面積分を求めよ。
∫_[S](xi+yj+zk)・dS

この問題なのですが、
z^2=4-y^2≧0
y^2≧4
-2≦y≦2
くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。
この後はどうすればいいのでしょうか。
今まではこの後に
z=f(x,y)
とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので…
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.

これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.


■円柱の底面 (x=1)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.

これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.


■円柱の底面 (x=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.

∴ I3 = 0.


■カマボコの底面 (z=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.

∴ I4 = 0.

したがって全体の面積分は I1+I2+I3+I4 = (3/2)πr^2 = 6π.

答え合ってますか?

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r...続きを読む


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