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弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか?そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。

例えば、
x(t)=(asint,acost,bt)
の曲線があるとして、
これの長さ関数は
x'(t)=(acost,-bsint,0)より
int(0,t)||(x'(t))||dt
=int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt
=sqrt(a^2+b^2)t
より、t=x/sqrt(a^2+b^2)
ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、
x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)),
bs/sqrt(a^2+b^2))
となると解釈して宜しいのでしょうか?

分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

#1のKENZOUです。

パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]|dr/dt|dt
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。

>tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?
仰る通りと思います。
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この回答へのお礼

何度も丁寧な回答ありがとうございます。

ーーー引用させていただきましたーーーーーーーーーー
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

なるほど、こういうことだったんですね。
物理的イメージで追うと分かりやすくなり、理解できました。ありがとうございます。

お礼日時:2004/05/04 10:34

孤長について復習しておきますと。

。。
滑らかな曲線r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))があってその曲線上の近接した2点P,Qの曲線の長さは点P,Qを結ぶ2直線で近似することができます。従って
 PQ=√{(△x)^2+(△y)^2+(△z)^2
  =√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t  (1)
ここで△t→0の極限をとり、PQ→dsとすると
 ds=lim(△t→0)√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t
  =√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt  (2)
となります。従って曲線に沿った弧長s(tをパラメータとする)はパラメータtを0からtまで積分すればよいから
 s(t)=∫[0,t]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt (3)
となります。このs(t)を孤長パラメータといいます。
[例題]
 x(t)=(asint,acost,bt)  (4)
この曲線の孤長パラメータは既に見出されているように(上の式に代入して計算すれば)
 s=sqrt(a^2+b^2)t  (5)
となります。ここからtを求めると
 t=s/sqrt(a^2+b^2)  (6)
これが
>弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換
の意味でしょうか?(6)を(4)に代入すると
 x(s)=[asin{s/sqrt(a^2+b^2)},bcos{s/sqrt(a^2+b^2)},bs/sqrt(a^2+b^2)}]
となります。これはlinuxbeginnerさんのだされた答えと同じです。

この回答への補足

返事ありがとうございます。
分からない点があるので、再度質問させていただきたのですが、

長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
で、私が先ほど計算した結果は弧長パラメータにより
tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?

宜しければご回答お願い致します。

補足日時:2004/04/30 00:05
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