「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

プランク定数によって、とびとびの値をとることがなぜ示せるのですか?
スペクトルが関係するとか聞いたのですが、良く分かりません。
素人に分かる説明ってありませんか?

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A 回答 (7件)

再び siegmund です.



hogehogeninja さんのレス拝見しました.
私の方も読み方が浅いところがあったかも知れません.
面と向かって議論していればすぐ解決できることですけどね.
これだから,本書くってのは難しい.
同じ空気を吸いながら議論することの大切さがわかりますね.

どうも他の方の回答へのコメントばかりで申し訳ありませんが
(他の方の説明で大体尽きていると思います),
せっかく顔出したので,jojo_jo さんの回答にちょっと.

> シュレーディンガー方程式を解くときにプランク定数が出てきます

というより,シュレーディンガー方程式に最初からプランク定数が含まれています.
で,シュレーディンガー方程式を解くときに境界条件との関連で,
エネルギーの量子化が出る,という仕組みになっています.

> ということは、プランクがとびとびだと提唱したのではなく、
> 後にシュレディンガーによって明らかにされたということでよろしいのでしょうか?
>(自分が読んでる本にはプランクが提唱したように書いてあるので・・・)

最初に量子仮説を提唱したのはプランクで1900年のことです.
量子の世紀の20世紀の幕開けとして象徴的な年号ですね.
プランクの仮説は天下り的なところ,つぎはぎのようなところがあり,
理論としては不完全なところがありました.
そこらへんをもっときちんとした形に整備したのが,
ハイゼンベルク(1925年)やシュレーディンガー(1926年)の仕事です.

なお,プランク定数はエネルギーの次元を持っているのではなく,
作用の次元(エネルギー×時間)の次元を持っています.
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この回答へのお礼

結局、プランクさんはコクタイ放射実験から結果を説明するには、波ではなく粒子じゃなきゃ説明がつかない。
よって光=粒子と仮定した。
よって、粒子はとびとびの値しかとれない(もともと)。ということでよろしいのでしょうか?
うーん、馬鹿ですいません。

お礼日時:2001/06/11 07:52

専門家による説明など大変レベルが高くて解りません。


わたしは原点に戻り、プランク定数が導入されたイキサツをほんの一寸述べさせてください。

プランクの定数の導入は、物体(黒体)を加熱していくと黒ずんだ赤色から、赤くなり、黄色く輝いてきます。この現象がなかなか説明が付かず、プランクが光が粒子であると仮定すると、うまく説明ができることに気がつきました。このときに導入されたのがプランクの定数hです。 E=hνとかいう式がありましたネ?

現象(実験結果)をどのようにすれば説明ができるか、先人たちの苦労が偲ばれます。

これが光の粒子性の始まりでしょう!

ドイツでは、プランクに敬意を払って2マルクの硬貨の一つにプランクの肖像画が使われています。日本でも長岡半太郎の肖像画が紙幣に使われないかナ(^^;

では(^^;
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この回答へのお礼

レス遅れてすいません。
回答ありがとうございます。

自分はど素人なもので、いきなり方程式とか理論とかは理解できないので、とりあえず時系列で学ぼうとしてます。
ただ、自分の読んでる本にはとびとびが急にでてくるものですから、理解できずにここに質問しました。


>プランクの定数の導入は、物体(黒体)を加熱していく>と黒ずんだ赤色から、赤くなり、黄色く輝いてきます。>この現象がなかなか説明が付かず、プランクが光が粒子>であると仮定すると、うまく説明ができることに気がつ>きました。このときに導入されたのがプランクの定数h>です。 E=hνとかいう式がありましたネ?




ちょうど今この辺やってます。
先は長いけど頑張ります。

お礼日時:2001/06/06 01:41

ここで答えるのもなんなのですが、siegmundさんのご指摘についてです。



>両者を混同していないでしょうか?
かぎかっこ付きの「個数」は、自由度をどう言おうかと思ってるうちに分子の自由度は個数(に比例するもの)なので、光の自由度に対応する言葉として使いました。

確かに混乱しやすい、というか、ごっちゃになってかえって分かりにくいですね。
「個数」とかいたのはエネルギーを受け取る媒体がいくつあるか(におおざっぱに対応するもの)で、ふつうに言うエネルギーの値がとびとびで、1個2個と数えられる、というのはその媒体の振動の強さがとびとびになっている、ということですね。
混同しないようにと気持ちを込めて 「(注意するのは。。。。)」のコメントも書いてもみたんですが、やっぱり全然表現たらずみたいですね ^^;


>モードの個数という意味のようですが,振動数がνからν+dνの間にある
>モードの数は ν^2 dν に比例します.

1次元の有限空間の固有振動数の極限を考えました。実はその考察を省いたもので、なぜかそのまま1次元バージョンで残ってました。本質的な部分でないと思ったのでそのままにしました。でも1次元バージョンだという言及は消えてしまいました。

>結晶中の分子の格子振動と対応づけるのなら,
>格子振動のモードと電磁波のモードが対応する
>分子の個数に直接対応するものはありません.

上で言っているとおり、分子などの自由度を「分子の個数」と置き換えています。実際、位置の自由度と振動のモードは実空間でみるか運動量空間で見るかの違いですから、気にせずに直接対応させてます。
逆に電磁波のモードを実空間に置き換えれば格子一個一個の振動に対応する振動子も無いことはないわけで(対応するものもちゃんとあるという意味で)、強いて対応させると格子点1個と空間の一点を対応させることができますよ。
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電子などの粒子の運動をシュレーディンガーさんという人が調べました。


その結果、粒子の運動方程式としてシュレーディンガー方程式(有名です!!)というのを求めることに成功しました。
このシュレーディンガー方程式を用いて原子の周りの電子の運動を求めると、プランク定数レベルのエネルギー値における電子はとびとびのエネルギー値しかとり得ることができないことが分かります。(シュレーディンガー方程式を解くときにプランク定数が出てきます。)
つまり、原子の周りをそのエネルギーに応じた距離(半径)でまわっているのです。
その距離に応じて名前がついています。K殻とかL殻とかいうやつです。

なぜこのようなことになるのかというと、電子などの微小な物事を扱う場合にはエネルギーもプランク定数レベルの微小なものを扱います。
このような微小な粒子は波の性質を持っています。
簡単にいうと、粒子は点滅しながら動いているのです。ある所で存在していた粒子が移動するうちにだんだん薄くなり、やがて消え、また現れる。といった具合です。(本当はもっと複雑です。)
原子と電子に当てはめると、原子の周りの電子のまわる距離(円周)と電子の点滅具合(波長)がうまく合うと電子の存在確率(波の性質)が増幅され存在することができます。
しかし、これが少しでもずれると波が打ち消しあい存在することができません。

つまりこの円周と波長が相性の合う半径(電子のエネルギー)でのみ電子が存在するためとびとびの値しかとれないんですね。

この回答への補足

レス遅れて大変すいません。

<その結果、粒子の運動方程式としてシュレーディンガー<方程式(有名です!!)というのを求めることに成功し<ました。
<このシュレーディンガー方程式を用いて原子の周りの電<子の運動を求めると、プランク定数レベルのエネルギー<値における電子はとびとびのエネルギー値しかとり得る<ことができないことが分かります。(シュレーディンガ<ー方程式を解くときにプランク定数が出てきます。)

ということは、プランクがとびとびだと提唱したのではなく、後にシュレディンガーによって明らかにされたということでよろしいのでしょうか?
(自分が読んでる本にはプランクが提唱したように書いてあるので・・・)

補足日時:2001/06/06 01:20
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エネルギーが飛び飛びの値を取るのは,交換関係


(1)  [x,p] = ih/2π
に起因するものです.

> なぜ示せるのですか?
は量子力学を勉強していただくより仕方がないと思います.
なお,いつでもエネルギーがとびとびの値を取る(離散的)わけではないので
注意してください.
エネルギーが連続的な値を取る場合もあります.

もともとの質問のレベルを超えるのではないかとも思いますが,
hogehogeninja さんの回答にはいくらか誤解があるようです.

「電磁波の個数」が,電磁波のモードという意味と,
振幅を量子化したときの光子の個数と言う意味の2重に使われているようですが,
両者を混同していないでしょうか?
両者は全く違う概念です.
電磁場の状態を指定するには,どのモードの振幅がどれくらい
(あるいは,振幅の代わりにそのモードの光子がいくつ)で指定します.
モードを正確に指定するには振動数ではなくて,波数ベクトルと偏光方向が必要です.
波数ベクトルが違っていても振動数は同じということがあります.

> どう個数は数えればいいかというと、個数は振動数に比例する、とされています。
>(具体的に何個、とはいえませんが、1Hzと2Hzの間にあるのと、
> 6Hzと7Hzの間にある個数は同じだけある、

モードの個数という意味のようですが,振動数がνからν+dνの間にある
モードの数は ν^2 dν に比例します.


> そして分子の個数に対応するのは周波数であり、
> 分子の振動の強さに対応するのは電磁波の強度です。

結晶中の分子の格子振動と対応づけるのなら,
格子振動のモードと電磁波のモードが対応し,
(あるモードの)格子振動の振幅と電磁波の振幅が対応します.
分子の個数に直接対応するものはありません.
分子の個数が有限なことは,
格子振動のモードの振動数に上限がある(Debye 振動数)ことで
表されています.
電磁場はモードの振動数に上限はありません.
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プランク定数によってとびとびの値を取ることが分かるのではなく、エネルギーなどが飛び飛びの値を取ることが分かって、その特徴を表すのに使う数がプランク定数である、というものです。



スペクトルと関係があるというのは、ある波長の光が飛び飛びのエネルギーを持つ、(1個2個と数えられ、1個あたり hυ のエネルギーを持つ)と、仮定したとき、熱放射のスペクトルがよく説明できるからです。

-----------
まず、物は小さな粒子である分子でできていますが、それぞれは止まっているわけでなく、振動しています。塩の結晶ならそれぞれの原子が自分のいる周りに振動していたり、空気なら振動する代わりに飛び交って他の分子に絶えず衝突したりしています。

この振動は、隣り合っているもの同士で伝わっていき、近くの物同士では同じ程度の振動になります。つまり、全体として均一な運動エネルギーを持つようになります。
実はこれが「熱」で、熱エネルギーというのは分子などの振動の運動エネルギーです。熱が伝わるというのは、この振動が激しいところからそれほど激しくないところに伝わっていくことなわけです。
たとえばN個の分子があって、全体で E のエネルギーを持っていれば、分子一個あたりは E/N で、それぞれ等しいぐらいずつの振動エネルギーを分け合って落ち着きます。

---
さて、光は電磁波ですが、これは電荷が振動すると放出されます。振動している電荷は、電磁波としてエネルギーを放出して、振動は止まっていきます。
また逆に、電磁波が入ってくると、電荷を持った物はその電磁波に揺さぶられて振動し始めます。
これによって、分子の熱振動がみな同じぐらいの振動で釣り合ったように、分子の振動と電磁波の「熱振動」がちょうど同じぐらいになって、平衡に達するようになります。

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では、N個の分子ではN等分しましたが、電磁波である光まで入れると「何個」あって、どう分配すればいいのだろうか?という疑問がでてきます。どう個数は数えればいいかというと、個数は振動数に比例する、とされています。(具体的に何個、とはいえませんが、1Hzと2Hzの間にあるのと、6Hzと7Hzの間にある個数は同じだけある、ということ。固有振動数の考察から導かれます。また個数それ自身が問題なのではなくて、分配する比が決まればいいので、個数の比が分かればよく、実際に1個1個の何かがある必要はまだありません。)

もう一度繰り返すと、電磁波は1MHz、1GHzなどのような周波数(振動数)と、強さの二つの性質があります。そして分子の個数に対応するのは周波数であり、分子の振動の強さに対応するのは電磁波の強度です。

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そうすると、電磁波は周波数に対応して「何個」ある、とはいえませんが、仮に個数を考えて、3MHzから4MHzの間にある個数と、4MHzから5MHzにある個数が同じだと仮に考えると、それぞれの周波数帯に分配する熱エネルギーは同じになります。

ようは、分子の個数に対応する光の「個数」を考えると、どの周波数帯にどのぐらいの比率で熱エネルギーを分配するかはその「個数」に比例して分配するので、分配の法則が分かります。

---
これが炭火が赤外線を出したりロウソクが光を出したり地球が冷えたりする熱放射の過程ですが、上のように考えてどの周波数帯はどのぐらいの強度かというスペクトルが導かれます。

さて、実際にはこの考察の通りになっていなかったのです。
まず、上の考察では実験で調べるまでもなくおかしいところがあります。電磁波の振動数はいくらでも高いものがあるので、高い周波数の光にも熱振動のエネルギーをわけてあげなくてはならず、際限なく高いエネルギーまで無限にエネルギーを供給し続け、分子などの物質は絶対0度まで冷え続けることになるのです!
(振動する光の「個数」が無限にあるので、いくら1個1個にちびちびエネルギーをあげても、結局全部吸い取られてしまう)

---
しかし実際には、このスペクトルは周波数の高い部分では成立せず、低い周波数のみで成立します。現実では高い周波数はエネルギーの分け前に与ることができていないようなのです。

それでこの原因を説明したのが、光の粒子です。
もし電磁波がいくらでも小さいエネルギーをもつことができず、ある単位ごとのエネルギーしか持たないとしたら、どうでしょう?
もらう時には、5なら5、10なら10という単位でしか受け取らないのです。
そうしたら、100まとめてでしか受け取らないというところよりも、1ずつの単位で受け取る、という方がエネルギーを受け取りやすくなります。こうして一個一個のエネルギーが小さい周波数ではたくさんエネルギーの分配をうけられて、一個一個の単位が大きいところでは、ほとんど受け取れなくなります。
(注意するのは、前にでてきた「個数」は周波数あたりの光の「個数」で、実際には周波数はとびとびの値ではなく、連続的な値をとります。いま言っているのは光の強度(エネルギー)が飛び飛びの値をとる、といっています)

周波数υに対応する電磁波1個のエネルギーは、hυ としたとき、熱放射のスペクトルが説明できます。
----------

かなり長くなってしまいました。
よかったらどうぞ読んでくださいね。

ポイントは
  *熱は物質の振動で、その振動が伝わると熱が伝わる
  *光も熱をもらう(熱放射)
  *光は飛び飛びの値のエネルギーでしかやりとりをしていなくて、大きな単位
   でやりとりするやつは受け取るのに不自由してもらい損ねる→これが熱放射
   のスペクトルで高周波数側で小さくなっている理由
です。
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この回答へのお礼

レス遅れて大変すいません。
すごく丁寧な回答で恐縮です。
気合入れて読まさせていただきます。
補足を数日後にいれますのでまた宜しくお願いします。
(ちょっとすぐには理解できませんので、すいません)

お礼日時:2001/06/06 02:46

以下の参考URLサイトは参考になりますでしょうか?


物理・化学系の基礎の成書を探されては如何でしょうか?

ご参考まで。

参考URL:http://www.sm.rim.or.jp/~abc/science/02.txt
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この回答へのお礼

返事遅れてすいません。
自分みたいな素人にも結構分かりやすいサイトみたいですね。
正直なとこ、ちょっと上の回答は自分にはレベルが高すぎるみたいで・・・
ここで勉強して他の方々の回答が理解できるよう頑張ります。ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/06 01:12

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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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Qプランク定数の実験で‥

光電効果の実験をして、プランク定数を求めたのですが、4.70×10^-34という、実際とはだいぶ離れた数値になってしまいました。
理由としてどんなことが考えられるか教えてください。

Aベストアンサー

光電子の出始める周波数辺りだと,
検流計?電流計?も感知するかしないかの微弱な出力でしょう.

出力が出ても,ちらちらと値が変化していませんか?
そういうときは,目をつむってぱっと開いて見えた数字を記録し,
これを3回とか繰り返して平均値を取ったりします.
(大数の法則に従うとすれば,この読み取り方法での誤差は正規分布に従います.)

電流計の内部抵抗の影響で,検出した値が多少ずれていることがあります.

配線が長いと,そこでの熱損失があって,多少差っ引かれた値になる場合があります.

光電子のエネルギーは,恐らく電位を掛けた電極か,ファラデーカップのようなもので
測定していると思いますが,これに負荷する電位の精度,信頼性も関係して来ます.

取得したデータを1次回帰したときの残差は小さいですか?
他のグループと比較してみて下さい.
取得したデータをフィッティングする場合,統計で言うところの
検定を行ってみるのも,取得したデータが有意か否かの判断の参考になります.

などなどです.

余談としてアドバイスですが,学生実験では,
実験方法が完全で,間違いなくデータを取って,
正しいデータ解析をしたとき,その値が現実とずれていれば,
なぜずれたか?を吟味・検証し,正しい値となるためには,
ここそこにこういう改善を施す,と言うことが記述されていれば,
求めた値がぴったりであろうとずれていようと,良いとは思いますよ.
目的は,プランク定数を求めること以上に,上記のようなことの鍛錬にあるからです.

光電子の出始める周波数辺りだと,
検流計?電流計?も感知するかしないかの微弱な出力でしょう.

出力が出ても,ちらちらと値が変化していませんか?
そういうときは,目をつむってぱっと開いて見えた数字を記録し,
これを3回とか繰り返して平均値を取ったりします.
(大数の法則に従うとすれば,この読み取り方法での誤差は正規分布に従います.)

電流計の内部抵抗の影響で,検出した値が多少ずれていることがあります.

配線が長いと,そこでの熱損失があって,多少差っ引かれた値になる場合...続きを読む


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