A 回答 (5件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.5
- 回答日時:
No.4 さんと僕と結果違う(汗)
自分の回答、あまり自信ないけど、
r = d の時、切り取った体積は球の体積になるんじゃない?
まぁ、d < r だから r = d にはならないんだけど(笑)
No.4
- 回答日時:
>もしどうしても積分で計算したいなら、こういう方法も。
スイカの中心から高さzの位置でスイカを水平に切ったときの断面の面積
π(r^2-z^2-d^2)を0≦z≦√(r^2-d^2)の範囲で積分した結果を
2倍すればスイカの残った部分の体積が得られる。すなわち、
2∫[z=0→√(r^2-d^2)]π(r^2-z^2-d^2)dz
=2π(r^2-d^2)∫[z=0→√(r^2-d^2)]dz-2π∫[z=0→√(r^2-d^2)]z^2dz
=2π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)-2π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)/3
=(4/3)π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)・・・・・(1)
又、スイカの上下の切り取られた部分の体積は、π(r^2-z^2)を
√(r^2-d^2)≦z≦rの範囲で積分した結果を2倍すれば得られる。
すなわち、2∫[z=√(r^2-d^2)→r]π(r^2-z^2)dz
=2πr^2∫[z=√(r^2-d^2)→r]dz-2π∫[z=√(r^2-d^2)→r]z^2dz
=2πr^2{r-√(r^2-d^2)}-(2/3)π{r^3-(r^2-d^2)√(r^2-d^2)}
=2πr^3-2πr^2√(r^2-d^2)-(2/3)πr^3+(2/3)π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)}
=(4/3)πr^3-(4/3)πr^2√(r^2-d^2)-(2/3)πd^2√(r^2-d^2)・・・・・(2)
(1)と(2)を元のスイカの体積(4/3)πr^3から引けばスイカに空いた穴の
容積が得られるので、
(4/3)πr^3-{(4/3)π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)}
-{(4/3)πr^3-(4/3)πr^2√(r^2-d^2)-(2/3)πd^2√(r^2-d^2)}
=2πd^2√(r^2-d^2)・・・答
No.3
- 回答日時:
No.1 です
No.2 さんの回答も考え、日本語の文章としてはそっちの方が正解なのかもしれませんが、「積分の問題」とのことですので、No.2 さんのような回答をしてしまうと、「積分の問題」 にならないので、No.1 のような回答をしました。
問題作成者には日本語の勉強をして欲しいですね
以下のような問題文にすると曖昧さがなくなります
| 半径rの球の形をしたスイカがあります。
| このスイカに底面の半径がd(<r)である
| よく切れる「円筒」を真上から垂直に刺します
| (スイカを突き抜けるまで)。
| このときくりぬかれたスイカの容積を求めよ。
今回は問題作成者の日本語の資質の欠損でまだ良いですが、
数学的資質の欠損した問題もあり、入試の時は腹が立ちました
(試験管を呼んで、「この問題 間違ってるぞ」 と注意しました)
No.2
- 回答日時:
>円柱を抜いた後で真横から見ると、スイカの上下が長さ2dだけ水平に
切り取られているように見え、切り取られた上下の面と面の間の長さを
2hとすると、三平方の定理によりd^2+h^2=r^2になるので、h=√(r^2-d^2)
から、スイカに空いた穴の容積は、半径d高さ2hの円柱の体積、すなわち
2πd^2√(r^2-d^2)・・・答
No.1
- 回答日時:
別にどうという問題でないですけど、、、と言いながら、おかしな解き方だったらどうしよう
スイカの中心を xyz座標の原点におくと、
スイカは x^2 + y^2 + z^2 ≦ r^2 で表せます
円柱は x^2 + y^2 ≦ d^2
スイカの表面と円柱の表面が混じり合うのは、z =± √(r^2 - d^2) の時です
- √(r^2 - d^2) ≦ z ≦= √(r^2 - d^2)
の時と -r ≦ z ≦- √(r^2 - d^2) 、√(r^2 - d^2) ≦ z ≦ r
の時とで、積分することになりますが、上下対称ですので、上半分だけ計算して後で2倍するのが楽です
0 ≦ z ≦= √(r^2 - d^2) の範囲では
∫[ 0, 、√(r^2 - d^2) ] πd^2 dz = [πd^2 z](0, 、√(r^2 - d^2))
= πd^2 √(r^2 -d^2)
です
まあ、半径 r、高さ √(r^2 - d^2) の体積ですから、当たり前ですよね
√(r^2 - d^2) ≦ z ≦ r の範囲では
∫[ √(r^2 - d^2)、r ] π(√(r^2 - z^2)^2) dz
= ∫[ √(r^2 - d^2)、r ] π (r^2 - z^2) dz
= [ π(r^2 z - z^3/3)](√(r^2 - d^2)、r )
= (2/3)πr^3 -(1/3)π(2r^2+s^2)√(r^2 - d^2)
スイカに空いた穴の容積は
2πd^2 √(r^2 -d^2) + (4/3)πr^3 -(2/3)π(2r^2+d^2)√(r^2 - d^2)
= (4/3) π(r^3 + d^2 √(r^2 - d^2) - r^2√(r^2 - d^2))
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 半径6の円Kを底面とする半球がある。半球の底面に平行な平面が半球と交わっており、交わりの円Lの半径は 6 2022/06/24 06:34
- 数学 微分積分の円錐の体積についての問題がわからないです。 2 2022/07/16 16:26
- 物理学 写真の問題についてですが、わからないことが2つあります。 ①赤線部に「電気力線は直線Lに垂直になる」 2 2023/06/21 17:50
- 数学 円柱の堆積を求める方法について 半径×半径×円周率3.14×高さ=だと思うのですが、 円柱の中に入れ 4 2022/03/25 10:53
- 物理学 的外れな質問になっていましたらすみません。 スイカを空中栽培をして 2kgのスイカが支柱の天井からや 1 2023/06/04 04:28
- 数学 問題の答えがわかりません 1 2022/07/15 18:18
- 数学 数学の問題がわかりません。(球の中心の座標を求める問題) 2 2023/02/14 15:52
- 物理学 図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M 7 2023/02/15 09:23
- 物理学 材料力学の問題です。2問あります。 解き方を教えていただきたいです。 (1)長さl,底面の半径をrの 1 2022/06/09 23:54
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報