「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

(コーシーの平均値の定理)
2つの関数f(x)g(x)が[a,b]で連続、(a,b)において微分可能であるとする。
g(a)≠g(b)かつ(a,b)でg´(x)≠0のとき、

a<c<bかつ
{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f´(c)/g´(c)
を満たす実数cがそんざいする。
(解釈)
数直線上に2点P,Qがあり、、これらの点が数直線上を動くとする。
時刻tでの位置をf(t)g(t)とするt=aからt=bの間にP,Qが進んだ距離はf(b)-f(a),g(b)-g(a)である。
これは、これらの速さの比に等しく、
{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}がf´(c)/g´(c)と等しくなるcが存在する。
速さの比に等しいことはわかるのですが、{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}がf´(c)/g´(c)と等しくなるcが存在する
理由がわかりません。教えてください。

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A 回答 (2件)

 意味だけなら、ふつうの平均値の定理を、媒介変数表示された曲線の形に言い換えただけです。



[平均値の定理]
 もろもろの成立条件は自分で補って頂くとして、y(x)に対して、

  (y(B)-y(A))/(B-A)=y’(C)

 となるA<C<Bが存在する。

 ここで同じy(x)が、y=f(t)かつx=g(t)と媒介変数表示されたとすると、y(B)=f(b),y(A)=f(a)、B=g(b),A=g(a)とおき、

  y'=dy/dx=f’(t)/g’(t)

に注意すると、(1)をこれらで置き換えて、

  (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

となるa<c<bが存在するはず・・・。

 「するはず」・・・の部分を示すのが、証明ですけどね(^^;)。
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  p(x) = f((b-a)x+a)-f(a)


  q(x) = ( (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) ) (g((b-a)x+a)-g(a))
とおくと、
  p(0)=q(0)=0
  p(1)=q(1)=f(b)-f(a)
になる。そこで
  r(x) = p(x) - q(x)
という関数を考えると、明らかにrも[a,b]で連続かつ(a,b)で微分可能であり、
  r(0) = r(1) = 0
だから、平均値の定理から
  r'(t) = 0
を満たすt∈(0,1) が存在する。
 これを幾何学的に言うなら、「点(0,0)と点(1,0)とをどんな曲線でつないでも、それが滑らかな曲線なら、途中のどこかで傾きが0になる」ということですね。また、ご質問のように速さの概念を使って言うなら、「時刻0に位置0を出発して、時刻1に位置0に戻ってきたのなら、途中で速さが0になった時点があるはず」ということになる。
 ともあれ、このtについて、
  p'(t) = q'(t)
になっている。
 では、p'(t)とq'(t)をそれぞれ計算して、この等式に代入してみて下さい。(その際に、(b-a)t+a を c と書くことにするのがお薦めです。)
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