速度問題・中学入試問題が解けません

仕事関連で、中学入試問題集を購入しました。試しに見てみたら全く解けなくて、びっくりしてしまいました。

もしおわかりのかたがいらっしゃったら教えて欲しいと思い、質問させていただいています。

問題
AからCまで一直線のコースがあり、その途中にBがあります。
AC上のB地点から直角にD地点があります。
（カタカナの「ト」の形をしたようなコースです）

AをスタートしてBを通りCまでいき、Cで折り返してBに戻り、Dでゴールするマラソンコースの問題です。

ABの距離は6km、BDは2kmです。

兄弟が午後2:24分にAをスタートし、兄は毎時10km、弟は毎時8kmで走りました。

1.　弟はBからBとCの距離の5/6の距離で折り返した兄と会いました。弟は何時何分にゴールしますか。

2.　友達がその日午後1:00にAを自転車で出発し一定の速さで同じコースを走りましたが、兄弟と出会うことはありませんでした。友達は毎時何キロより早い速度で走りましたか。

という問題です。青学中等部の入試問題です。

答えは、1が午後6:24で、2が毎時15km以上でした。

距離が全部わかっているのなら計算できますが、どのように考えたら「5/6の地点で折り返した兄と会う」という情報で弟のゴールタイムがわかるのか、全く想像できません。

この問題を小学生が解くと思うと、頭が痛いです。会社の友達と話ましたが、分かる人がいませんでした。

どなたか、おしえてくださいませんでしょうか。
宜しくお願いいたします。

No.6 ベストアンサー 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/02/16 10:53

中学受験をめざしている小学生はこんな風に解きます。

まず、兄と弟の速さが時速10kmと時速８kmですから、速さの比が５：４ですね。
速さの比が５：４のふたりが同じ時間走ると、動いた距離の比も５：４になります。
この問題ですと兄と弟がスタートしてからすれ違うまでに動いた距離の比が５：４ということです。
ここでAC間の距離を（９）と置くと、往復で(18)ですね。兄弟はスタートしてから出会うまでの間に二人あわせて一往復、つまり(18)走りました。これを５：４に分けると、兄は(18)の5/9で（10）、弟は（８）進んだことになります（ここでAC間の距離を（９）と置いたのは、こうすれば整数で計算することができて楽だからです）。
ということは、兄はAからCまで（９）走り、（１）戻ってきたところで弟に出会ったということになります。
そしてこの（1）がBC間の距離の1/6ということになりますね。BからBC間の距離の5/6のところで出会ったのですから、Cからは1/6のところで出会ったことになるわけです。二人が出会った地点をEとすると、ECが（1）、これがBC間の1/6ですからBCは（6）、BEは（5）、そしてACは（９）ですから、ABは（9）－（6）で（3）です。そしてこの（3）が６kmですから、（1）は２kmです。BCは（6）ですから12kmです。
これで全ての距離が出ました。ABが６km、BCが12km、ACが18km、BDが２kmです。

あとは簡単ですね。

１　このマラソンコースはAC間の18km、CB間の12km、BD間の2km、計32kmを走ります。時速８kmですからかかる時間は４時間。２時24分の４時間後で６時24分にゴールしたことになります。

２　友達が兄弟に出会わなかったということは、兄がBに着く前に友達はCを折り返してBに戻ってきたということです。
兄はAB間を6km÷時速10km＝36分で走ります。２時24分の36分後で３時ちょうどにBに着くことになります。もし友達が１時に出発して３時にBに戻ってきたとすると、二人はB地点で出会うことになりますね。この場合Bは２時間で18km＋12kmの30kmを走ったことになります。30km÷２時間で時速15kmですね。でも実際には友達はそれより速かったのですから、答えは「時速15kmより速い」となります。

以上のように、速さの問題で比を使うとすっきり解けることが多いので、受験生にとって速さと比は重要な単元になっています。

この回答へのお礼

詳細におしえてくださり、ありがとうございました！

みなさまのご丁寧な回答、全てじっくり考えてみたのですが、おばさんには全然わからず・・・という恥ずかしい理解力に自分でも驚いてしまいました。

その中でもredgarberaさんのお返事からは、なるほど！と紐解きながら問題を解く考え方ができ、計算をして答えまで自分でたどり着くことができましたので、ベストアンサーにさせていただこうとおもいます。

これを機に、少し硬い頭をやわらかくしてみようとおもいました。
みなさま、ご丁寧にほんとうにありがとうございました。

お礼日時：2014/02/16 14:38

No.7 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/02/16 14:02

No.5です。

文章に一部誤りがありました。
＞弟はBからBとCの距離の5/6の距離で折り返した兄と会いました。
　のことから、弟は【BCB間】の距離の(1/3)を走っていることを示していますからBC間の距離は、24kmだとわかります。コース全体は、6km+24km+2km=32km

＞兄と弟がBC間に居る時にここを通過してはならないのですから、これより遅い(緑のグラフの傾きがきついと灰色にかぶさってしまいます。)
　30kmを2h以上の速さで進行すると灰色の範囲に入ってしまいます。30km/2h=15km/h

この回答へのお礼

ありがとうございます。
私も、2/6＝1/3までは出せたのと、「…BC間の距離は、24kmだとわかります。」の部分で、察することができました。

でも、グラフを書いて解く方法は初めて知りました。余裕ができたらもう少し調べてみたいとおもいました。ほんとうに、ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/16 14:44

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/02/16 10:44

この手の問題に限らず、国語力、すなわち説明されていることを正確に理解することが必要です。

正確に理解しているか否かは図を描けばすぐ分かります。
　小学校では、速さと移動距離はグラフにして考えることを学びます。
　５年生の「数量関係」「算数活動」で学びます。

図を描くと添付のようになっていることが理解できると思います。
・・・・説明をグラフにできる読解力があれば、あとはグラフから読取れればよいのですから意外と簡単な問題です。方程式を立てる必要もないですね。

＞弟はBからBとCの距離の5/6の距離で折り返した兄と会いました。
　のことから、弟はAB間の距離の(1/3)を走っていることを示していますからBC間の距離は、24kmだとわかります。コース全体は、6km+24km+2km=32km

＞兄と弟がBC間に居る時にここを通過してはならないのですから、これより遅い(緑のグラフの傾きがきついと灰色にかぶさってしまいます。)
　よって・・緑の線と時間、距離を読み解きましょう。

　数学の固い頭だけじゃなく、小学生の柔軟な頭を忘れたら・・・

この回答へのお礼

とても丁寧にありがとうございます！
「旅人算　グラフ」で検索したらたくさん出てきました。このような解き方が普通にあるんですね。私が小学生だったウン十年前は、こんなことやったかしら？という感じでした。
大変に参考になりました。
ガチガチの頭をどうにかしなければ、と思いました。
ありがとうございます。

お礼日時：2014/02/16 14:33

No.4 回答者： usaginotawagoto 回答日時： 2014/02/16 05:56

連投すみません。

回答NO2に解答を書き連ねてしまいましたが、
考え方はNO1さんの回答をご参考ください。
ましてや私は中学以上の文字を使っての解答なので、
少々実際の解答とは異なりますので。


取り敢えずは全体の道のりの情報がわからないのなら
わかるところからわからない部分を求めることです。
今回はBC間の距離がわからないのですから、
BC間の距離を表せる方法を考えることです。

情報としては
AB間（及びBD間）の距離、
兄と弟が会ったところのBC間の位置、
兄弟の時速
があるので、それを活用することです。

位置からBC間の距離の
取り敢えずの仮の式を置くことに関しては
NO1さんが回答してくださっているので
そちらをご参考ください。

No.3 回答者： usaginotawagoto 回答日時： 2014/02/16 05:44

NO2ですが、上から9行目は7/6xkmです。

また、/と÷などの併用、
二人の距離を表す時のカッコの省略
などについては回答している時に気づきませんでしたので
ご了承ください。

この回答へのお礼

はい、ありがとうございます！

お礼日時：2014/02/16 07:20

No.2 回答者： usaginotawagoto 回答日時： 2014/02/16 05:39

小学生の問題なので文字はおけないと思いますが、

質問者様は大人なので文字でおいて考えさせてください。

先ず、BC間の距離をxkmとします。

次に兄弟が出会った地点の距離を文字式に表します。
弟は6kmとxの5/6の距離なので6＋5/6xｋｍ。
兄はB→Cに行く場合の片道がxkmであり、
弟が5/6kmということは、
兄がC→Bに行く時の距離は1/6kmということになります。
そうするとB→Cのxkm＋C→Bの1/6kmで7/6kmとなります。
よって兄は6＋7/6xkm。

この二人が出会った時の距離はそれぞれ違いますが、
同時にスタートしているので、出会った時間は同じ。
つまり走った時間は一緒ということです。

よって、二人の距離をそれぞれ速さで割った時間が一緒。
この等式を解けばいいということになります。

本当は2:24と分まで考えねばなりませんが、
今回は解答がわかっていますし、
スタートから4時間後と切りがいいので時速でそのまま考えます。


兄は（6＋7/6x）÷10、弟は（6＋5/6x）÷8、これが一緒。
よって式は
（6＋7/6x）÷10＝（6＋5/6x）÷8
→6/10＋7/6x×1/10＝6/8＋5/6x1/8
→3/5＋7/60x＝3/4＋5/48x
両辺に60をかけて
36＋7x＝45＋25/4x
移項＆通分して
（28-25）/4x＝45-36
3/4x＝9
3x＝36
x＝12

BC間の距離は12km。

２人のマラソンコースは
AB→BC→CB→BDなので
6＋12＋12＋2（km）
＝32km

弟のかかった時間は
道のり32km÷時速8km
＝4時間

スタートの午後2:24より4時間後
＝午後6:24


問2
友達が午後1時から走っていて
兄弟と出会わないということはつまり
友達が折り返してB地点に戻るまでに
一度も出会わないということ。

よって兄弟がAからB地点にたどり着くまでに
友達がCから折り返してBを過ぎてなければならない。

先ず、兄弟では兄の方が速いので
兄が午後2：24にスタートし、B地点につくまでの
時間を求める。

するとAB間は6/10＝3/5時間
よってB地点につくのは午後3時。


友達は午後1時にスタートし午後3時（2時間）までに
A～C＋CBの距離を走れていればいい。

よって6＋12＋12＝30kmを2時間より速く走ればいい。
よって時速15kmより速く走る。

この回答へのお礼

こまかな式もおしえてくださり、大変参考になりました、ありがとうございます。
お二方のご回答を参考に、自分でも計算してみました。

ご回答の「両辺に60をかけて」の上の式までは理解できました。なるほど！という感じです。

でも「両辺に60をかけて」でつまづきました。

3/5＋7/60x＝3/4＋5/48x　
まで式を出して、どこから「両辺に60をかける」が出てくるのでしょうか。
そして、両辺に60をかけると
36＋7x＝45＋25/4x
になるのでしょうか。

本当にすみません。何も覚えていません・・・。お恥ずかしい限りです。
でも、理解したいです。

もしお時間があったら、おしえてください。
よろしくおねがいします。m(__)m

お礼日時：2014/02/16 07:18

No.1 回答者： zyunyu 回答日時： 2014/02/16 05:16

回答します。

まず、距離がわかるために必要な情報として、どの位置で兄弟はであったかという点、さらに、兄弟は同時にＡ地点を
出発していますが、実質的には、旅人算とみなすことができるということに気付けるか、がポイントです。

兄弟は同時にＡ地点を出発していますが、折り返してＢＣ間であっています。この状態は、いわば
ＡＣ×２の距離を向かい合って歩いて行って出会う話と同じとみなせます。

なので、出発してから何分後に兄弟が出会うかを求めることで、出会った地点の距離は兄からも弟からも
求めることができます。

ＢＣ間の距離の5/6の距離の点でであったということは、裏を返せば、中間地点よりもＢＣ間の1/6の距離オーバーしたところで
兄は出会ったともいえます。中間地点とはつまりＡＣ間の距離なわけですから、兄の移動距離からＡＣを引けば、
ＢＣ間の1/6の距離を求めることができます。そうすると、コース全長を求めることもできますし、
各点間の距離も求めることができます。

ゆえに、ポイントは、出会う状況の情報から、今まで習った知識とどのように関係するかが見抜ければ、そう難しくはないはずです。参考になりましたでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。大変参考になりました。

お礼日時：2014/02/16 06:58