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A 回答 (1件)

ここはどうでしょうか。



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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
個人的にはもっと多くの問題がほしいです(^^;

お礼日時:2001/06/03 12:06

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QΣの公式、階差数列、数学的帰納法、恒等式、漸化式が分かりません

僕は数学検定の準2級(高校2年レベル)を受けるのですが、
Σの公式、階差数列、数学的帰納法、恒等式、漸化式がよく分かりません。

具体的に言うと、

@Σの公式
・Σの上にある数字は、何を表しているのですか?
・Σの下にあるk=1とはなんですか?kとは初項のことですか?

@階差数列
・階差数列そのものの意味が分かりません。どんな数列のことを言うんですか?

@数学的帰納法
・数学的帰納法は「数列の証明をする時に使う物」という解釈で良いのでしょうか?
・n=kの時と有りますが、kとは何ですか?

@恒等式、漸化式
・恒等式、漸化式そのものがよく分かりません。
 どんな時に使うものなのですか?

このうち1つだけでも良いので、誰か教えて下さいおねがいします。
中3なので、分かりやすく教えてもらえると助かります。

Aベストアンサー

#4です。補足します。

a)k=a について命題が成り立つことを示す(a は整数)。通常、a=1 であることが多い。
b)k=n の時に成り立つことを前提に、k=n+1 で成り立つことを示す。

紛らわしいので(1)...を(a)...に変更しました。すると質問者の方の参考書とは次のような対応になります。

1)n=1のときに成り立つことを示す。(a)
2)n=kで成り立つと仮定する。(b前半)
3)n=k+1でも成り立つことを示す。(b後半)
4)すべての自然数nで成り立つ。(結論)

この時の k や n は、数列の和などとは関係ありません。i やαでも良いですが、慣例として k や n が使われることが多いだけです。

2)は単純に「n = k のとき命題が成り立つ」と仮定しているだけです。ですから、この時点では本当に成り立っているかどうかは分かりません。

3)では、「n=k の時に成り立っている」という条件の下で「n=k+1 で命題が成り立っている」ことを示します。

2)と3)を合わせると、n=1 が成り立っているので n=2 が成り立つ、n=2 が成り立っているので n=3 が成り立つ、...という形で全ての1以上の整数(自然数)で命題が成り立つことがわかるので、「すべての自然数nで成り立つ」という命題が証明されたことになります。




> 一般項Anを類推しなさい、という問題もありましたが、これは一般項Anを求めよと同じことを指しているのですか?

その通りです。

#4です。補足します。

a)k=a について命題が成り立つことを示す(a は整数)。通常、a=1 であることが多い。
b)k=n の時に成り立つことを前提に、k=n+1 で成り立つことを示す。

紛らわしいので(1)...を(a)...に変更しました。すると質問者の方の参考書とは次のような対応になります。

1)n=1のときに成り立つことを示す。(a)
2)n=kで成り立つと仮定する。(b前半)
3)n=k+1でも成り立つことを示す。(b後半)
4)すべての自然数nで成り立つ。(結論)

この時の k や n は、数列の和などとは関係あ...続きを読む

Q数学の数列において一般項Anに対して第-1項や第0項などというのは存在するのでしょうか? また、nの

数学の数列において一般項Anに対して第-1項や第0項などというのは存在するのでしょうか?
また、nの定義は(決まっているのかは分かりませんが)自然数ということで良いのでしょうか?

Aベストアンサー

非常に一般的に考えるなら, 「数列 {An}」というのは本質的に「n に対して An を与える関数」とみなすことができます. 従って, なんらかの方法で n=-1 や n=0 に対して値を決めることができるなら「第-1項」や「第0項」というものも (さらには「第 1/4項」なども) 考えることができます.

ただし, ふつうは漸化式を「逆に」使うことはしないので, 漸化式が与えられているときにはその漸化式から添字の範囲が限定されることになります.

Q数列(一般項の帰納法による定義)

お世話になっております。
数列の単元で、漸化式から帰納法によって一般項を定める問題例がありますが、これについて少し抽象的な質問をさせて下さい。

例題 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A[1]=2,A[n+1]=An/(1+An) (n=1,2,3,…)

まず、実際に幾つかの値を得て、
A[1]=2, A[2]=2/3, A[3]=2/5,……となるから、
An=2/(2n-1)…(1) になると「推測」される。帰納法によってこれを証明する。以下略

ここで、質問です。
数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学び始めますが、このことと今、第n項が(1)になると「推測」されることとは何が違うのでしょうか。推測だけではだめだから、帰納法で全ての自然数nについて(1)が成り立つことを示すのがこの問題の目的になるのでしょうが、そうなると、全ての数列について帰納法によって証明しなければいけないような気になってくるのですが、どんなものなのでしょう。
また、この問題は漸化式を拠り所に第n項を類推しますが、この例題ならば具体的な値から規則性が簡単に見出せるから良いのですが、パッと見ただけじゃ規則性の見出しにくい数列は、漸化式を解いて得られた第n項について、やはり帰納法によって証明する必要があるという捉えになるのでしょうか。
以上になります。言葉足らずなところがあるかも知れません。また、筋違いな質問でしたらご容赦下さい。宜しくお願い致します。

お世話になっております。
数列の単元で、漸化式から帰納法によって一般項を定める問題例がありますが、これについて少し抽象的な質問をさせて下さい。

例題 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A[1]=2,A[n+1]=An/(1+An) (n=1,2,3,…)

まず、実際に幾つかの値を得て、
A[1]=2, A[2]=2/3, A[3]=2/5,……となるから、
An=2/(2n-1)…(1) になると「推測」される。帰納法によってこれを証明する。以下略

ここで、質問です。
数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学...続きを読む

Aベストアンサー

もしかして見当違いのことを言っていたらごめんなさい。

質問者は、
まず、「幾つかの具体的な値から第n項を推定すること」
次に、「帰納法で全ての自然数nについて・・が成り立つことを示す」
ということは理解していて、実際、漸化式等で示された数列ではこのようなステップを
踏むのに、そうでない問題が多いため違和感を覚えているのではないでしょうか?


具体的には、

「a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,a5=9、・・・で与えられる数列の一般項を求めよ」
なんて問題の場合には、一般項 an=2n-1 を「推定」するだけで、
帰納法による証明を与えていないではないか(怒)、
との疑問なのではないでしょうか?

もしそこが疑問なのだとしたら
「それはもっともな疑問です。高校数学教育の限界です。
 問題が悪いのです。厳密に示すことができないことを出題して済みません」
というのが回答です。

Q数列の数学的帰納法の基本的な問題です。

数列a1,a2,...,an,...の各項が1より小さい正の数であるとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
ただし、n≧2とする。
(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<n>) > 1-(a<1>+a<2>+...+a<n>)
という問題で、
(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<k>)(1-a<k+1>) >{1-(a<1>+a<2>+...+a<k>)}(1-a<k+1>)
=1-(a<1>+a<2>+...+a<k>+a<k+1>)+(a<1>+a<2>+...+a<k>)a<k+1>
(a<1>+a<2>+...+a<k>)a<k+1> > 0であるから
(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<k+1>) > 1-(a<1>+a<2>+...+a<k+1>)
という解答であったのですが、
この解答の意味がよくわかりません。そこで解答の説明をよろしくお願いします。
※< >は数列の項数を意味します。小さい数字が出なかったので< >を付けました。

Aベストアンサー

こんばんわ。

数列の添え字は a[n]で表すことにしますね。

・n= kのときに成り立つと仮定して、n= k+1でも成り立つことを示します。

・n= kのとき成り立つ不等式の両辺に、( 1- a[k+1] )をかけます。
すると、左辺は n= k+1の不等式の左辺の形になっています。

・右辺は、そのまま ( 1- a[k+1] )がかけられた形になっていますが、
それを展開していくと
(n= k+1のときの右辺)+(正の数)

という形に変形できます。
最後の「・・・>0であるから」の部分は、余剰となっている項が(正の数)であることを示しています。
この式は当然、(n= k+1のときの右辺)+(正の数)> (n= k+1のときの右辺)となるので、
n= k+1のときも不等式が成り立つことが示されます。


帰納法を用いた不等式の証明は、
まず n= k+1の形へ持っていきつつ、余剰となる項の正負を用いる
ことが多いと思います。
慣れるのは少し大変かもしれませんが、いろいろと問題にあたってみてください。^^

Q数学的帰納法は演繹法?それとも帰納法?

数学や科学、論理において、
演繹法または帰納法
が使われると思います。

ところで、数学的帰納法は、そのどちらなのでしょうか?

どこかで、数学的帰納法は演繹法の一種、と聞きましたが、本当でしょうか?

でも、そうだとしたら、数学的帰納法という言葉は、誤解を招くというか、
たとえば、「数学的帰納法」を省略してたんに「帰納法」というのは、よくないのでしょうか?

Aベストアンサー

数学的帰納法という言葉が誤解を招く、というの確かにおっしゃる通りです。ですが、それで通っている用語なので大目に見てあげてください。また数学的帰納法を略して帰納法というのもわりとよく使われるので問題ないです。ただ、もし高校数学あるいは大学受験数学で使うなら、必ず数学的帰納法と書いてください。略して帰納法ではだめです。

よく漸化式を解く問題で、「推定して帰納法」なんていうテクニックを使いますが、これは正しくは、「帰納して演繹法」なんですよね。紛らわしいったらないですが、用語の混乱ということで納得されるのがよいと思います。推定することそのものが帰納法になっているので、それを数学的にきちんと演繹した、演繹的帰納法というとより正確な用語に近い気もしました。造語ですけど。


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