階乗

これの(2)を詳しく教えて欲しいです(´・ω・｀)

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/27 11:59

「50!が3^nで割り切れるような自然数nの最大値を求めよ。

」であれば

1～50の中の3の倍数は
　1≦3n≦50
　0.33…≦n≦16.6…
　1≦n≦16
であるから16個ある。

その16個のうち3×3=9の倍数は
　n=3mとおいて
　1≦3m≦16
　0.33…≦m≦5.33…
　1≦m≦5
であるから5個ある。

その5個のうち3×3×3=27の倍数は
　m=3kとおいて
　1≦3k≦5
　0.33…≦k≦1.66…
　k=1
であるから 1個ある。

以上から
　50!には素因数3が　16+5+1=22個　含まれることが分かる。
(答え) nの最大値は22
(答え) 22

No.2 回答者： fluidicB 回答日時： 2014/02/26 21:38

私もよく見えないのですが、問題文は

　50!が3^nで割り切れるような自然数nの最大値を求めよ。
で合ってますか？

言い換えると、50!を素因数分解して、3の因数が何個かってことです。

ちょっと話を簡単にこれが7!についての質問だったら
7!
=7x6x5x4x3x2x1
=7x(3x2)x5x(2x2)x3x2x1
なので3は2回出てきますね。
なのでその場合は答えがn=2になるのよ、
っていうタイプの問題。
では本来の問題である50!について同じように考えてみると

50!
=50x49x48x47x...
　やってられません。

ちょっと整理して考えてみると、
7!は１から７までの整数に３の倍数はいくつあるか、
って問題と（ほぼ）同じ意味でした。

そう考えてみましょう。
１から順に数えて48が16番目の「３の倍数」です。
じゃあ答えはn=16?

いやちょっと違います。
一つの整数を素因数分解したときに３が複数でてくるケースがあります。
9!について考えるなら9は３番目の3の倍数ですが、
答えはn=3じゃなくて7!に3x3x8をかけるので
3の因数は2つ増えますよね。なのでn=4

50までに9の倍数が5つあります。
さらに3の因数を3つ含む数で一番小さいのは27。
27の倍数は27一つしかありません。
4つ含む数で一番小さいのは81。
5つ以上含む数も50以下にないですね。
というわけで
（３の倍数の数）＋（９の倍数の数）＋（２７の倍数の数）
＝22
答えは22

なお、大人になったらこういう面倒なことは
数学処理ソフトに任せてしまえば立ちどころに答えがでます。
フリーソフトのMaximaなら
factor(50!);
と入力すると素因数分解してくれて,

50!=2^47 x 3^22 x 5^12 x 7^8 x 11^4 x 13^3 x 17^2 x 19^2 x 23^2 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47

です。
なので３については3^22で割り切れますね。3^23では割り切れません。
3^nのnの最大値は22が答えです。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/02/26 21:02

見えない。

書き写してください。