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C、辺OBを3;1に内分する点をD,ADとBCの交点をPとする。OAベクトル=aベクトル、
OBベクトル=bベクトルとする時、次の問いに答えよ。
(1)
AP:PD=t:1-t(0<t<1)とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルとtを用いて表せ。
(2)
OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。
(3)
直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:EBを求めよ。
(4)
∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ABを求めよ。

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A 回答 (3件)

>ベクトルを↑で表すと


(1)
AP:PD=t:1-t(0<t<1)とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルと
tを用いて表せ。
>↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AD=↑a+t{(3/4)↑b-↑a}
=(1-t)↑a+(3t/4)↑b・・・答
(2)
OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。
>メネラウスの定理(AC/CO)*(OB/BD)*(DP/PA)=1により
(2/1)*(4/1)*(1-t)/t=1を解いてt=8/9
よって、↑OP=(1-8/9)↑a+(3*8/4*9)↑b
=(1/9)↑a+(2/3)↑b・・・答
(3)
直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:EBを求めよ。
>メネラウスの定理(AE/EB)*(BO/OD)*(DP/PA)=1により
(AE/EB)*(4/3)*(1-t)/t=1
AE/EB=3t/4(1-t)=6/1、よってAE:EB=6:1・・・答
(4)
∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ABを求めよ。
>↑AB・↑OP=0だから
↑AB・↑OP=(↑b-↑a)・{(1/9)↑a+(2/3)↑b}
=(1/9)↑b・↑a+(2/3)↑b・↑b-(1/9)↑a・↑a-(2/3)↑a・↑b
=(2/3)|↑b|^2-(1/9)|↑a|^2=0だから6OB^2=OA^2、OA=(√6)OB
OA^2+OB^2=AB^2だからAB^2=7OB^2、AB=(√7)OB、よって
OA:OB:AB=(√6)OB:OB:(√7)OB=√6:1:√7・・・答
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ベクトル記号は省略します。


(1)OP=OA+AP
    =OA+t・AD ・・・(あ)
AD=OD-OA
  =3OB/4-OA ・・・(い)
よって(あ)に(い)を代入すると
OP=OA+t(3OB/4-OA)
  =(1-t)OA+3t・OB/4
  =(1-t)a+3t・b/4

(2)
CP:PB=s:1-s (0<s<1)とすると、
OP=OC+CP
  =OA/3+s・CB ・・・(う)
CB=OB-OC
  =OB-OA/3 ・・・(え)
なので、(え)を(う)に代入すると
OP=OA/3+s(OB-OA/3)
  =(1-s)OA/3+s・OB
  =(1-s)a/3+s・b ・・・(お)
(1)の結果と(お)は同じベクトルを表しているので
両者におけるaおよびbの係数は等しい。よって
1-t=(1-s)/3
3t/4=s
1-t=(1-3t/4)/3
   =1/3-t/4
2/3=3t/4
t=8/9、s=2/3
よって
OP=(1-s)a/3+s・b
  =a/9+2b/3

(3)
AE:EB=u:1-u(0<u<1) とすると、
OE=(1-u)a+u/b ・・・(か)

一方EはOPの延長線上にあるので
OE=v・OP (vは実数) と表される。従って(2)の結果より
OE=v・a/9+2v・b/3 ・・・(き)
(か)と(き)は同じベクトルを表しているので、両者におけるa,bの
係数は等しい。よって
1-u=v/9
u=2v/3
v=9/7、u=6/7
このuの値よりAE:EB=6:1

(4)
∠AOB=直角なので、点Oをxy平面の原点、点Bをx軸上、
点Aをy軸上にとり、点AとBの座標をそれぞれ(0、y)および(x、0)
(x>0、y>0)とすると、aおよびbはそれぞれ(0、y)および(x、0)と
成分表示できる。

ベクトルAB=b-a
       =(x、-y) ・・・(く)
また、上記の結果より
OE=a/7+6b/7
   =(6x/7、y/7) ・・・(け)
OPとABが直交するのであればOEとABも直交する。つまりOEとABの
内積はゼロになるので(く)および(け)より内積を求めると
6x^2/7-y^2/7=0
6x^2=y^2
これより
y=√6x
よってOA:OB=√6:1 であり、三平方の定理より
OA:OB:AB=√6:1:√7
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Cと⊿OABの関係が不明です。

説明してください。
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Aベストアンサー

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これを解いて
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 y = z・(b3・a1 - a3・b1)/(a2・b1 - b2・a1)

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Q進研模試の過去問を手に入れたいのですが・・・。

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Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
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Qベクトルと平面図形の問題です。

△OABにおいて、OA=4、OB=3、AB=√13とする。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。また、辺OBを2:1に内分する点をMとし、線分OHと線分AMの交点をPとする。 OA↑=a↑、OB↑=b↑とするとき

(1)内積a↑・b↑を求めよ
(2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ
(3)OP↑の大きさを求めよ
という問題の解き方がわかりません。

数学が苦手で困っています(>_<)

なるべく詳しく解答してほしいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)内積a↑・b↑を求めよ

内積a↑・b↑=|a↑|*|b↑|*cos∠AOB
余弦定理により
13=16+9-2*4*3cos∠AOB、cos∠AOB=1/2
よって内積a↑・b↑=4*3*1/2=6・・・答え
(2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ

OH^2+AH^2=16・・・・・・・・(ア)
OH^2+(√13-AH)^2=9・・(イ)
両式より16-AH^2=9-(√13-AH)^2=-4+2AH√13-AH^2
AH=10/√13・・・・・・・・・・(ウ)
Hを通るOBに平行な直線とOAとの交点をNとすると
△OABと△NAHは相似。よってNA/OA=AH/AB=NH/OB
NA=(10/√13)*4/√13=40/13
NH=(10/√13)*3/√13=30/13
ON=OA-NA=4-40/13=12/13
OH↑=ON↑+NH↑=(ON/OA)a↑+(NH/OB)b↑
={(12/13)/4}a↑+{(30/13)/3}b↑
=(3/13)a↑+(10/13)b↑・・・答え
メネラウスの定理から(OM/MB)*(AB/AH)*(PH/OP)=1
(2/1)*(√13/10/√13)*(PH/OP)=1からPH/OP=5/13
Pを通るOBに平行な直線とOAとの交点をQとすると
△OPQと△OHNは相似。よってOQ/ON=OP/OH=PQ/NH
PH/OP=5/13からPH=(5/13)OP
OH=OP+PH=OP+(5/13)OP=(18/13)OP
OP/OH=13/18、OQ=(OP/OH)*ON=(13/18)(12/13)=2/3
PQ=(OP/OH)*NH=(13/18)*(30/13)=5/3
OP↑=OQ↑+QP↑=(OQ/OA)a↑+(QP/OB)b↑=(2/3/4)a↑+(5/3/3)b↑
=(1/6)a↑+(5/9)b↑・・・答え
(3)OP↑の大きさを求めよ

(ウ)を(ア)に代入してOH^2=16-100/13=108/13
OP/OH=13/18よりOP=(13/18)√(108/13)=√(13/3)・・・答え

(1)内積a↑・b↑を求めよ

内積a↑・b↑=|a↑|*|b↑|*cos∠AOB
余弦定理により
13=16+9-2*4*3cos∠AOB、cos∠AOB=1/2
よって内積a↑・b↑=4*3*1/2=6・・・答え
(2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ

OH^2+AH^2=16・・・・・・・・(ア)
OH^2+(√13-AH)^2=9・・(イ)
両式より16-AH^2=9-(√13-AH)^2=-4+2AH√13-AH^2
AH=10/√13・・・・・・・・・・(ウ)
Hを通るOBに平行な直線とOAとの交点をNとすると
△OABと△NAHは相似。よってNA/OA=AH/AB=NH/OB
NA=(10/√13)*4/√13=40/13
NH=(10/√13)*3/√13=30/13
ON=OA-NA=4-40/13=12/13
OH↑=ON↑...続きを読む

Q(a+b)(b+c)(c+a)+abcの因数分解

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=(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}a+bc(b+c)
=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)
たすきがけを行い
={(b+c)a+bc}{a+(b+c)}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)


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