No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>ベクトルを↑で表すと
(1)
AP:PD=t:1-t(0<t<1)とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルと
tを用いて表せ。
>↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AD=↑a+t{(3/4)↑b-↑a}
=(1-t)↑a+(3t/4)↑b・・・答
(2)
OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。
>メネラウスの定理(AC/CO)*(OB/BD)*(DP/PA)=1により
(2/1)*(4/1)*(1-t)/t=1を解いてt=8/9
よって、↑OP=(1-8/9)↑a+(3*8/4*9)↑b
=(1/9)↑a+(2/3)↑b・・・答
(3)
直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:EBを求めよ。
>メネラウスの定理(AE/EB)*(BO/OD)*(DP/PA)=1により
(AE/EB)*(4/3)*(1-t)/t=1
AE/EB=3t/4(1-t)=6/1、よってAE:EB=6:1・・・答
(4)
∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ABを求めよ。
>↑AB・↑OP=0だから
↑AB・↑OP=(↑b-↑a)・{(1/9)↑a+(2/3)↑b}
=(1/9)↑b・↑a+(2/3)↑b・↑b-(1/9)↑a・↑a-(2/3)↑a・↑b
=(2/3)|↑b|^2-(1/9)|↑a|^2=0だから6OB^2=OA^2、OA=(√6)OB
OA^2+OB^2=AB^2だからAB^2=7OB^2、AB=(√7)OB、よって
OA:OB:AB=(√6)OB:OB:(√7)OB=√6:1:√7・・・答
No.2
- 回答日時:
ベクトル記号は省略します。
(1)OP=OA+AP
=OA+t・AD ・・・(あ)
AD=OD-OA
=3OB/4-OA ・・・(い)
よって(あ)に(い)を代入すると
OP=OA+t(3OB/4-OA)
=(1-t)OA+3t・OB/4
=(1-t)a+3t・b/4
(2)
CP:PB=s:1-s (0<s<1)とすると、
OP=OC+CP
=OA/3+s・CB ・・・(う)
CB=OB-OC
=OB-OA/3 ・・・(え)
なので、(え)を(う)に代入すると
OP=OA/3+s(OB-OA/3)
=(1-s)OA/3+s・OB
=(1-s)a/3+s・b ・・・(お)
(1)の結果と(お)は同じベクトルを表しているので
両者におけるaおよびbの係数は等しい。よって
1-t=(1-s)/3
3t/4=s
1-t=(1-3t/4)/3
=1/3-t/4
2/3=3t/4
t=8/9、s=2/3
よって
OP=(1-s)a/3+s・b
=a/9+2b/3
(3)
AE:EB=u:1-u(0<u<1) とすると、
OE=(1-u)a+u/b ・・・(か)
一方EはOPの延長線上にあるので
OE=v・OP (vは実数) と表される。従って(2)の結果より
OE=v・a/9+2v・b/3 ・・・(き)
(か)と(き)は同じベクトルを表しているので、両者におけるa,bの
係数は等しい。よって
1-u=v/9
u=2v/3
v=9/7、u=6/7
このuの値よりAE:EB=6:1
(4)
∠AOB=直角なので、点Oをxy平面の原点、点Bをx軸上、
点Aをy軸上にとり、点AとBの座標をそれぞれ(0、y)および(x、0)
(x>0、y>0)とすると、aおよびbはそれぞれ(0、y)および(x、0)と
成分表示できる。
ベクトルAB=b-a
=(x、-y) ・・・(く)
また、上記の結果より
OE=a/7+6b/7
=(6x/7、y/7) ・・・(け)
OPとABが直交するのであればOEとABも直交する。つまりOEとABの
内積はゼロになるので(く)および(け)より内積を求めると
6x^2/7-y^2/7=0
6x^2=y^2
これより
y=√6x
よってOA:OB=√6:1 であり、三平方の定理より
OA:OB:AB=√6:1:√7
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